Número de Prandtl turbulento

El número de Prandtl turbulento ( Pr _t ) es un término adimensional definido como la relación entre la difusividad del remolino del momento y la difusividad del remolino de transferencia de calor. Es útil para resolver el problema de la transferencia de calor de los flujos turbulentos de la capa límite. El modelo más simple para Pr _t es la analogía de Reynolds , que produce un número de Prandtl turbulento de 1. A partir de datos experimentales, Pr _t tiene un valor promedio de 0.85, pero varía de 0.7 a 0.9 dependiendo del número de Prandtl del fluido en cuestión.

Definición

La introducción de la difusividad de los remolinos y, posteriormente, el número de Prandtl turbulento funciona como una forma de definir una relación simple entre el esfuerzo cortante adicional y el flujo de calor que está presente en el flujo turbulento. Si el momento y las difusividades de remolinos térmicos son cero (sin esfuerzo cortante turbulento ni flujo de calor aparentes), entonces las ecuaciones de flujo turbulento se reducen a las ecuaciones laminares. Podemos definir las difusividades de remolino para la transferencia de momento y la transferencia de calor como y dónde está el esfuerzo cortante turbulento aparente y el flujo de calor turbulento aparente. El turbulento número de Prandtl se define entonces como${\displaystyle \varepsilon _{M}}$${\displaystyle \varepsilon _{H}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}}$${\displaystyle -{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}}$
${\displaystyle -{\overline {u'v'}}}$${\displaystyle -{\overline {v'T'}}}$

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.}$

Se ha demostrado que el turbulento número de Prandtl no es generalmente igual a la unidad (por ejemplo, Malhotra y Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot y Taylor, 1996; y Churchill, 2002). Es una función fuerte del número de Prandtl molecular entre otros parámetros y la Analogía de Reynolds no es aplicable cuando el número de Prandtl molecular difiere significativamente de la unidad determinada por Malhotra y Kang; ^[1] y elaborado por McEligot y Taylor ^[2] y Churchill ^[3]

Solicitud

Ecuación de la capa límite del momento turbulento: ecuación de la capa límite térmica turbulenta, Sustituir las difusividades de los remolinos en los rendimientos de las ecuaciones térmicas y de momento y Sustituir en la ecuación térmica utilizando la definición del número de Prandtl turbulento para obtener
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).}$
${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$

Consecuencias

En el caso especial en el que el número de Prandtl y el número de Prandtl turbulento son iguales a la unidad (como en la analogía de Reynolds ), el perfil de velocidad y los perfiles de temperatura son idénticos. Esto simplifica enormemente la solución del problema de la transferencia de calor. Si el número de Prandtl y el número de Prandtl turbulento son diferentes de la unidad, entonces es posible una solución conociendo el número de Prandtl turbulento de modo que aún se puedan resolver las ecuaciones térmicas y de momento.

En un caso general de turbulencia tridimensional, el concepto de viscosidad turbulenta y difusividad turbulenta no es válido. En consecuencia, el turbulento número de Prandtl no tiene significado.^[4]

Referencias

1. Malhotra, Ashok y KANG, SS 1984. Número de Prandtl turbulento en tubos circulares. En t. J. Transferencia de calor y masa, 27, 2158-2161
2. McEligot, DM & Taylor, MF 1996, El número de Prandtl turbulento en la región cercana a la pared para mezclas de gases de número de Prandtl bajo. En t. J. Transferencia de masa de calor., 39, págs. 1287--1295
3. Churchill, SW 2002; Una reinterpretación del turbulento número de Prandtl. Ind. Eng. Chem. Res. , 41, 6393-6401. CLAPP, RM 1961.
4. Kays, WM (1994). "Número de Prandtl turbulento: ¿dónde estamos?". Revista de transferencia de calor . 116 (2): 284–295. doi : 10.1115 / 1.2911398 .

Libros

• Kays, William; Crawford, M .; Weigand, B. (2005). Transferencia de masa y calor por convección, cuarta edición . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-246876-2.