El método de fuerza ficticia unitaria proporciona un medio conveniente para calcular los desplazamientos en sistemas estructurales. Es aplicable tanto para comportamientos de materiales lineales como no lineales, así como para sistemas sujetos a efectos ambientales y, por lo tanto, es más general que el segundo teorema de Castigliano .
Sistemas discretos
Considere un sistema discreto como cerchas, vigas o marcos que tienen miembros interconectados en los nodos. Sea el conjunto consistente de deformaciones de los miembros dado por, que se puede calcular utilizando la relación de flexibilidad de miembros . Estas deformaciones de los miembros dan lugar a los desplazamientos nodales., que queremos determinar.
Comenzamos aplicando N fuerzas nodales virtuales, uno para cada r deseado , y encuentre las fuerzas de miembros virtuales que están en equilibrio con :
En el caso de un sistema estáticamente indeterminado, la matriz B no es única porque el conjunto deque satisface el equilibrio nodal es infinito. Puede calcularse como la inversa de la matriz de equilibrio nodal de cualquier sistema primario derivado del sistema original.
Imagine que fuerzas virtuales internas y externas sufren, respectivamente, las deformaciones y desplazamientos reales; el trabajo virtual realizado se puede expresar como:
- Trabajo virtual externo:
- Trabajo virtual interno:
Según el principio de trabajo virtual , las dos expresiones de trabajo son iguales:
La sustitución de (1) da
Desde contiene fuerzas virtuales arbitrarias, la ecuación anterior da
Es notable que el cálculo de (2) no implica ningún tipo de integración, independientemente de la complejidad de los sistemas, y que el resultado es único, independientemente de la elección del sistema primario de B . Por tanto, es mucho más conveniente y general que la forma clásica del método de carga unitaria ficticia, que varía con el tipo de sistema así como con los efectos externos impuestos. Por otro lado, es importante notar que la ecuación (2) es para calcular los desplazamientos o rotaciones de los nodos solamente. Esto no es una restricción porque podemos convertir cualquier punto en un nodo cuando lo deseemos.
Finalmente, el nombre de carga unitaria surge de la interpretación de que los coeficientesen la matriz B son las fuerzas del miembro en equilibrio con la fuerza nodal unitaria, en virtud de la ecuación (1).
Sistemas generales
Para un sistema general, el método de fuerza ficticia unitaria también proviene directamente del principio de trabajo virtual . La figura (a) muestra un sistema con deformaciones reales conocidas.. Estas deformaciones, supuestamente consistentes, dan lugar a desplazamientos en todo el sistema. Por ejemplo, un punto A se ha movido a A 'y queremos calcular el desplazamiento r de A en la dirección que se muestra. Para este propósito particular, elegimos el sistema de fuerza virtual en la Fig. (B) que muestra:
- La fuerza unitaria R * está en A y en la dirección de r, de modo que el trabajo virtual externo realizado por R * es, observando que el trabajo realizado por las reacciones virtuales en (b) es cero porque sus desplazamientos en (a) son cero. :
- : El desplazamiento deseado
- El trabajo virtual interno realizado por las tensiones virtuales es
- donde lo virtual destaca debe satisfacer el equilibrio en todas partes.
Al equiparar las dos expresiones de trabajo se obtiene el desplazamiento deseado: