En ingeniería estructural , el método de flexibilidad , también llamado método de deformaciones consistentes , es el método tradicional para calcular las fuerzas y los desplazamientos de los miembros en sistemas estructurales. Su versión moderna formulada en términos de las matrices de flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de método de fuerza de matriz debido a su uso de las fuerzas del miembro como las incógnitas primarias. [1]
Flexibilidad de miembros
La flexibilidad es la inversa de la rigidez . Por ejemplo, considere un resorte que tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y deformación:
- La relación de rigidez del resorte es Q = kq donde k es la rigidez del resorte.
- Su relación de flexibilidad es q = f Q , donde f es la flexibilidad del resorte.
- Por tanto, f = 1 / k .
Una relación de flexibilidad de miembro típica tiene la siguiente forma general:
( 1 )
dónde
- m = número de miembro m .
- = vector de deformaciones características del miembro.
- = matriz de flexibilidad del miembro que caracteriza la susceptibilidad del miembro a deformarse bajo fuerzas.
- = vector de fuerzas características independientes del miembro, que son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan lugar a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante el equilibrio de los miembros.
- = vector de deformaciones características del miembro causadas por efectos externos (como fuerzas conocidas y cambios de temperatura) aplicados al miembro aislado y desconectado (es decir, con ).
Para un sistema compuesto por muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros se pueden juntar en una sola ecuación matricial, eliminando el superíndice m:
( 2 )
donde M es el número total de deformaciones o fuerzas características de los miembros en el sistema.
A diferencia del método de rigidez de la matriz , donde las relaciones de rigidez de los miembros pueden integrarse fácilmente a través de condiciones de equilibrio y compatibilidad nodal, la forma de flexibilidad actual de la ecuación ( 2 ) plantea serias dificultades. Con fuerzas miembrocomo las incógnitas primarias, el número de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la solución, en general, a menos que el sistema esté estáticamente determinado .
Ecuaciones de equilibrio nodal
Para resolver esta dificultad, primero utilizamos las ecuaciones de equilibrio nodal para reducir el número de fuerzas independientes desconocidas en los miembros. La ecuación de equilibrio nodal del sistema tiene la forma:
( 3 )
dónde
- : Vector de fuerzas nodales en todos los N grados de libertad del sistema.
- : La matriz de equilibrio nodal resultante
- : El vector de fuerzas que surgen de la carga sobre los miembros.
En el caso de sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución para Q se puede encontrar inmediatamente en ( 3 ) siempre que el sistema sea estable.
El sistema primario
Para sistemas estáticamente indeterminados , M > N , y por lo tanto, podemos aumentar ( 3 ) con I = M - N ecuaciones de la forma:
( 4 )
El vector X es el llamado vector de fuerzas redundantes e I es el grado de indeterminación estática del sistema. Por lo general, elegimos j , k ,…,, y tal que es una reacción de apoyo o una fuerza interna en el extremo del miembro. Con opciones adecuadas de fuerzas redundantes, el sistema de ecuaciones ( 3 ) aumentado por ( 4 ) ahora se puede resolver para obtener:
( 5 )
La sustitución en ( 2 ) da:
( 6 )
Las ecuaciones ( 5 ) y ( 6 ) son la solución para el sistema primario, que es el sistema original que se ha determinado estáticamente mediante cortes que exponen las fuerzas redundantes.. La ecuación ( 5 ) reduce efectivamente el conjunto de fuerzas desconocidas a.
Ecuación y solución de compatibilidad
A continuación, necesitamos configurar ecuaciones de compatibilidad para encontrar . Las ecuaciones de compatibilidad restauran la continuidad requerida en las secciones cortadas estableciendo los desplazamientos relativosen los redundantes X a cero. Es decir, usando el método de fuerza ficticia unitaria :
( 7a )
- o
( 7b )
dónde
La ecuación ( 7b ) se puede resolver para X , y las fuerzas de los miembros se encuentran a continuación a partir de ( 5 ) mientras que los desplazamientos nodales se pueden encontrar mediante
dónde
- es la matriz de flexibilidad del sistema .
Los movimientos de los soportes que tienen lugar en los redundantes se pueden incluir en el lado derecho de la ecuación ( 7 ), mientras que los movimientos de los soportes en otros lugares deben incluirse en y también.
Ventajas y desventajas
Si bien la elección de fuerzas redundantes en ( 4 ) parece ser arbitraria y problemática para el cálculo automático, esta objeción puede superarse procediendo de ( 3 ) directamente a ( 5 ) usando un proceso de eliminación de Gauss-Jordan modificado . Este es un procedimiento robusto que selecciona automáticamente un buen conjunto de fuerzas redundantes para garantizar la estabilidad numérica.
Es evidente del proceso anterior que el método de rigidez de la matriz es más fácil de comprender e implementar para el cálculo automático. También es más fácil de extender para aplicaciones avanzadas como análisis no lineal, estabilidad, vibraciones, etc. Por estas razones, el método de rigidez de matriz es el método de elección para su uso en paquetes de software de análisis estructural de propósito general. Por otro lado, para sistemas lineales con un bajo grado de indeterminación estática, el método de flexibilidad tiene la ventaja de ser computacionalmente menos intensivo. Esta ventaja, sin embargo, es discutible ya que las computadoras personales están ampliamente disponibles y son más poderosas. El principal factor redentor en el aprendizaje de este método en la actualidad es su valor educativo al impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad además de su valor histórico. Por el contrario, el procedimiento del método de rigidez directa es tan mecánico que corre el riesgo de ser utilizado sin mucha comprensión de los comportamientos estructurales.
Los argumentos superiores fueron válidos hasta finales de los noventa. Sin embargo, los avances recientes en la computación numérica han mostrado un regreso del método de fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Se han desarrollado nuevos marcos que permiten formulaciones "exactas" independientemente del tipo o naturaleza de las no linealidades del sistema. Las principales ventajas del método de flexibilidad es que el error de resultado es independiente de la discretización del modelo y que, de hecho, es un método muy rápido. Por ejemplo, la solución elástica-plástica de una viga continua que utiliza el método de fuerza requiere solo 4 elementos de viga, mientras que un código FEM comercial "basado en la rigidez" requiere 500 elementos para dar resultados con la misma precisión. Para concluir, se puede decir que en el caso de que la solución del problema requiera evaluaciones recursivas del campo de fuerza como en el caso de la optimización estructural o la identificación del sistema , la eficacia del método de flexibilidad es indiscutible.
Ver también
Referencias
- ^ "Método Matrix Force" (PDF) . IUST . Consultado el 29 de diciembre de 2012 .