En la teoría de las C * -álgebras , la representación universal de una C * -álgebra es una representación fiel que es la suma directa de las representaciones GNS correspondientes a los estados de la C * -álgebra. Las diversas propiedades de la representación universal se utilizan para obtener información sobre los ideales y cocientes del álgebra C *. La estrecha relación entre una representación arbitraria de un C * -álgebra y su representación universal se puede aprovechar para obtener varios criterios para determinar si un funcional lineal en el álgebra es ultra débilmente continuo. El método de utilizar las propiedades de la representación universal como herramienta para probar los resultados sobre el álgebra C * y sus representaciones se conoce comúnmente comoTécnicas de representación universal en la literatura.
Definición y propiedades formales
- Definición. Deje A sea un C * álgebra con el espacio de estados S . La representación
- en el espacio de Hilbert se conoce como la representación universal de A .
Como la representación universal es fiel, A es * -isomórfica con C * -subálgebra Φ ( A ) de B (H Φ ) .
Estados de Φ ( A )
Con τ un estado de A , sea π τ la representación GNS correspondiente en el espacio de Hilbert H τ . Usando la notación definida aquí , τ es ω x ∘ π τ para un vector unitario adecuado x (= x τ ) en H τ . Por lo tanto τ es ω y ∘ Φ, donde y es el vector unitario sigma ρ∈ S ⊕ y ρ en H Φ , definida por y τ = x, y ρ = 0 (ρ ≠ τ). Dado que el mapeo τ → τ ∘ Φ −1 lleva el espacio de estados de A al espacio de estados de Φ ( A ), se deduce que cada estado de Φ ( A ) es un estado vectorial .
Funcionales acotados de Φ ( A )
Sea Φ ( A ) - el cierre de operador débil de Φ ( A ) en B (H Φ ) . Cada ρ funcional lineal acotado en Φ ( A ) es un operador débil continuo y se extiende de forma única conservando la norma, a un ρ funcional lineal continuo de operador débil en el álgebra de von Neumann Φ ( A ) - . Si ρ es hermitiano o positivo, lo mismo ocurre con ρ . El mapeo ρ → ρ es un isomorfismo isométrico del espacio dual Φ ( A ) * al predual de Φ ( A ) - . Como el conjunto de funcionales lineales que determinan las topologías débiles coincide, la topología de operador débil en Φ ( A ) - coincide con la topología ultradebil. Por lo tanto, las topologías de operador débil y ultradebil en Φ ( A ) coinciden con la topología débil de Φ ( A ) obtenida de su norma dual como un espacio de Banach.
Ideales de Φ ( A )
Si K es un subconjunto convexo de Φ ( A ), el cierre ultradebil de K (denotado por K - ) coincide con los cierres de operador fuerte y operador débil de K en B (H Φ ) . El cierre normal de K es Φ ( A ) ∩ K - . Se puede dar una descripción de los ideales de izquierda de norma cerrada en Φ ( A ) a partir de la teoría de la estructura de los ideales para las álgebras de von Neumann, que es relativamente mucho más simple. Si K es un ideal izquierdo de norma cerrada en Φ ( A ), hay una proyección E en Φ ( A ) - tal que
Si K es un ideal bilateral de norma cerrada en Φ ( A ), E se encuentra en el centro de Φ ( A ) - .
Representaciones de A
Si π es una representación de A , hay una proyección P en el centro de Φ ( A ) - y un * -isomorfismo α del álgebra de von Neumann Φ ( A ) - P sobre π ( A ) - tal que π ( a ) = α (Φ ( un ) P ) para cada una en una . Esto se puede capturar convenientemente en el diagrama conmutativo a continuación:
Aquí ψ es el mapa que envía a a aP , α 0 denota la restricción de α a Φ ( A ) P , ι denota el mapa de inclusión.
Como α es ultradebilmente bicontinuo, lo mismo ocurre con α 0 . Además, ψ es extremadamente débilmente continuo y es un isomorfismo * si π es una representación fiel.
Componentes singulares y ultra débiles continuos
Deje A sea un C * álgebra que actúa sobre un espacio de Hilbert H . Para ρ en A * y S en Φ ( A ) - , deja S ρ en A * ser definido por S ρ ( un ) = ρ∘Φ -1 (Φ ( un ) S) para todos una en una . Si P es la proyección en el diagrama conmutativo anterior cuando π: A → B (H) es el mapeo de inclusión, entonces ρ en A * es ultra débilmente continuo si y solo si ρ = P ρ. Se dice que un ρ funcional en A * es singular si P ρ = 0. Cada ρ en A * puede expresarse de forma única en la forma ρ = ρ u + ρ s , con ρ u ultra débilmente continuo y ρ s singular. Además, || ρ || = || ρ u || + || ρ s || y si ρ es positivo, o hermitiano, lo mismo ocurre con ρ u , ρ s .
Aplicaciones
Principio de Christensen-Haagerup
Deje que f y g sean continuas, funciones reales en C 4m y C 4n , respectivamente, sigma 1 , σ 2 , ..., σ m sea ultradébilmente continua, funcionales lineales en un álgebra de von Neumann R que actúan sobre el espacio de Hilbert H , y ρ 1 , ρ 2 , ..., ρ n sean funcionales lineales acotados en R tales que, para cada a en R ,
Entonces, la desigualdad anterior se mantiene si cada ρ j se reemplaza por su componente ultra débilmente continuo (ρ j ) u .
Referencias
- Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores, vol. I: Teoría elemental , Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821808191 .
- Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores, vol. II: Teoría Avanzada , Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821808207 .
- Kadison, Richard V. (1993), "Sobre una desigualdad de Haagerup-Pisier" , Journal of Operator Theory , 29 (1): 57-67, MR 1277964.