En matemáticas y análisis numérico , para acelerar la convergencia de una serie alterna , la transformada de Euler se puede calcular de la siguiente manera.
Calcule una fila de sumas parciales:
y formar filas de promedios entre vecinos,
La primera columna luego contiene las sumas parciales de la transformada de Euler.
La contribución de Adriaan van Wijngaarden fue señalar que es mejor no llevar a cabo este procedimiento hasta el final, sino detener dos tercios del camino. [1] Si están disponibles, entonces es casi siempre una mejor aproximación a la suma que
Fórmula de Leibniz para pi ,, da la suma parcial , la suma parcial de la transformada de Euler y el resultado de van Wijngaarden (los errores relativos están entre paréntesis).
0,83333333 0,76666667 0,79523810 0,77936508 0,78946609 0,78247308 0,78760129 0,78367972 0,78677569 0,78426943 0,78633982 0,78460069 0,80000000 0,78095238 0,78730159 0,78441558 0,78596959 0,78503719 0,78564050 0,78522771 0,78552256 0,78530463 0,78547026 0,79047619 0,78412698 0,78585859 0,78519259 0,78550339 0,78533884 0,78543410 0,78537513 0,78541359 0,78538744 0,78730159 0,78499278 0,78552559 0,78534799 0,78542111 0,78538647 0,78540462 0,78539436 0,78540052 0,78614719 0,78525919 0,78543679 0,78538455 0,78540379 0,78539555 0,78539949 0,78539744 0,78570319 0,78534799 0,78541067 0,78539417 0,78539967 0,78539752 0,78539847 0,78552559 0,78537933 0,78540242 0,78539692 0,78539860 0,78539799 0,78545246 0,78539087 0,78539967 0,78539776 0,78539829 0,78542166 0,78539527 0,78539871 0,78539803 0,78540847 0,78539699 0,78539837 0,78540273 0,785397680,78540021
Esta tabla resulta de la fórmula J 'b11.8'8!: 2 -: & (}: +}.) ^: N + / \ (_ 1 ^ n) *% 1 + 2 * n = .i.13 En muchos En los casos en que los términos diagonales no convergen en un ciclo, el proceso de promediado debe repetirse con términos diagonales colocándolos en una fila. Esto será necesario en una serie geométrica con una relación -4. Este proceso de promedios sucesivos del promedio de la suma parcial se puede reemplazar usando una fórmula para calcular el término diagonal.
Referencias
- ^ A. van Wijngaarden , en: Cursus: Wetenschappelijk Rekenen B, Proces Analyze, Stichting Mathematisch Centrum, (Amsterdam, 1965) pp. 51-60