En combinatoria , la transformación binomial es una transformación de secuencia (es decir, una transformación de una secuencia ) que calcula sus diferencias hacia adelante . Está estrechamente relacionado con la transformada de Euler , que es el resultado de aplicar la transformada binomial a la secuencia asociada con su función generadora ordinaria .
Definición
La transformada binomial , T , de una secuencia, { a n }, es la secuencia { s n } definida por
Formalmente, uno puede escribir
para la transformación, donde T es un operador de dimensión infinita con elementos de matriz T nk . La transformación es una involución , es decir,
o, usando notación de índice,
dónde es el delta de Kronecker . La serie original se puede recuperar
La transformada binomial de una secuencia es solo la n- ésima diferencia hacia adelante de la secuencia, con diferencias impares que llevan un signo negativo, a saber:
donde Δ es el operador de diferencia directa .
Algunos autores definen la transformada binomial con un signo extra, para que no sea autoinversa:
cuya inversa es
En este caso, la primera transformada se llama transformada binomial inversa , y la última es simplemente transformada binomial . Este es el uso estándar, por ejemplo, en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros .
Ejemplo
Ambas versiones de la transformación Binomial aparecen en tablas de diferencias. Considere la siguiente tabla de diferencias:
0 | 1 | 10 | 63 | 324 | 1485 | |||||
1 | 9 | 53 | 261 | 1161 | ||||||
8 | 44 | 208 | 900 | |||||||
36 | 164 | 692 | ||||||||
128 | 528 | |||||||||
400 |
Cada línea es la diferencia de la línea anterior. (El n -ésimo número en la m -ésima línea es a m , n = 3 n −2 (2 m +1 n 2 + 2 m (1 + 6 m ) n + 2 m -1 9 m 2 ), y la ecuación de diferencia a m +1, n = a m , n +1 - a m , n se cumple).
La línea superior leída de izquierda a derecha es { a n } = 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ... La diagonal con el mismo punto de partida 0 es { t n } = 0, 1, 8, 36 , 128, 400, ... { t n } es la transformada binomial no involutiva de { a n }.
La línea superior leída de derecha a izquierda es { b n } = 1485, 324, 63, 10, 1, 0, ... La diagonal transversal con el mismo punto de partida 1485 es { s n } = 1485, 1161, 900 , 692, 528, 400, ... { s n } es la transformada binomial involutiva de { b n }.
Función de generación ordinaria
La transformación conecta las funciones generadoras asociadas con la serie. Para la función generadora ordinaria , dejemos
y
luego
Transformada de Euler
La relación entre las funciones generadoras ordinarias a veces se denomina transformada de Euler . Suele aparecer de dos formas distintas. En una forma, se utiliza para acelerar la convergencia de una serie alterna . Es decir, uno tiene la identidad
que se obtiene sustituyendo x = 1/2 en la última fórmula anterior. Los términos del lado derecho normalmente se vuelven mucho más pequeños, mucho más rápidamente, lo que permite una rápida suma numérica.
La transformada de Euler se puede generalizar (Borisov B. y Shkodrov V., 2007):
donde p = 0, 1, 2,…
La transformada de Euler también se aplica con frecuencia a la integral hipergeométrica de Euler . Aquí, la transformada de Euler toma la forma:
La transformada binomial, y su variación como la transformada de Euler, es notable por su conexión con la representación fraccionaria continua de un número. Dejar tener la representación de fracción continua
luego
y
Función generadora exponencial
Para la función de generación exponencial , sea
y
luego
La transformada de Borel convertirá la función generadora ordinaria en la función generadora exponencial.
Representación integral
Cuando la secuencia se puede interpolar mediante una función analítica compleja , entonces la transformada binomial de la secuencia se puede representar mediante una integral de Nörlund-Rice en la función de interpolación.
Generalizaciones
Prodinger ofrece una transformación similar a un modular : dejar
da
donde U y B son las funciones generadoras ordinarias asociadas con la serie y , respectivamente.
La transformada k -binomial ascendente a veces se define como
La transformada binomial k descendente es
- .
Ambos son homomorfismos del núcleo de la transformada de Hankel de una serie .
En el caso donde la transformada binomial se define como
Sea esto igual a la función
Si se crea una nueva tabla de diferencias hacia adelante y los primeros elementos de cada fila de esta tabla se toman para formar una nueva secuencia, entonces la segunda transformada binomial de la secuencia original es,
Si el mismo proceso se repite k veces, se sigue que,
Su inverso es,
Esto se puede generalizar como,
dónde es el operador de turno .
Su inverso es
Ver también
Referencias
- John H. Conway y Richard K. Guy, 1996, El libro de los números
- Donald E. Knuth, El arte de la programación informática, vol. 3 , (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
- Helmut Prodinger, 1992, Alguna información sobre la transformada Binomial
- Michael Z. Spivey y Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
- Borisov B. y Shkodrov V., 2007, Series divergentes en la transformada binomial generalizada, Adv. Semental. Cont. Matemáticas, 14 (1): 77-82
- Khristo N. Boyadzhiev, Notes on the Binomial Transform , Theory and Table, con Apéndice sobre la Transformada de Stirling (2018), World Scientific.