La reconstrucción de campo vectorial [1] es un método para crear un campo vectorial a partir de datos experimentales o generados por computadora, generalmente con el objetivo de encontrar un modelo de ecuación diferencial del sistema.
Un modelo de ecuación diferencial es aquel que describe el valor de las variables dependientes a medida que evolucionan en el tiempo o el espacio dando ecuaciones que involucran esas variables y sus derivadas con respecto a algunas variables independientes , generalmente tiempo y/o espacio. Una ecuación diferencial ordinariaes aquel en el que las variables dependientes del sistema son funciones de una sola variable independiente. Muchos sistemas físicos, químicos, biológicos y eléctricos están bien descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. Con frecuencia suponemos que un sistema está gobernado por ecuaciones diferenciales, pero no tenemos un conocimiento exacto de la influencia de varios factores en el estado del sistema. Por ejemplo, podemos tener un circuito eléctrico que en teoría se describe mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, pero debido a la tolerancia de las resistencias , las variaciones de la tensión de alimentación o la interferencia de influencias externas, no conocemos los parámetros exactos del sistema. . Para algunos sistemas, especialmente aquellos que soportan el caos ., un pequeño cambio en los valores de los parámetros puede provocar un gran cambio en el comportamiento del sistema, por lo que un modelo preciso es extremadamente importante. Por lo tanto, puede ser necesario construir ecuaciones diferenciales más exactas basándose en el rendimiento real del sistema en lugar de un modelo teórico. Idealmente, uno mediría todas las variables dinámicas involucradas durante un período prolongado de tiempo, utilizando muchas condiciones iniciales diferentes , y luego construiría o ajustaría un modelo de ecuación diferencial basado en estas mediciones.
En algunos casos, es posible que ni siquiera sepamos lo suficiente sobre los procesos involucrados en un sistema para siquiera formular un modelo. En otros casos, podemos tener acceso a una sola variable dinámica para nuestras mediciones, es decir, tenemos una serie de tiempo escalar . Si solo tenemos una serie de tiempo escalar, necesitamos usar el método de incrustación de retardo de tiempo o coordenadas derivadas para obtener un conjunto lo suficientemente grande de variables dinámicas para describir el sistema.
En pocas palabras, una vez que tenemos un conjunto de medidas del estado del sistema durante un período de tiempo, encontramos las derivadas de estas medidas, lo que nos da un campo vectorial local, luego determinamos un campo vectorial global consistente con este campo local. Esto generalmente se hace mediante un ajuste de mínimos cuadrados a los datos derivados.
En el mejor de los casos, uno tiene flujos de datos de mediciones de todas las variables del sistema, igualmente espaciados en el tiempo, digamos
a partir de varias condiciones iniciales diferentes. Luego, la tarea de encontrar un campo vectorial y, por lo tanto, un modelo de ecuación diferencial consiste en ajustar funciones, por ejemplo, un spline cúbico , a los datos para obtener un conjunto de funciones de tiempo continuo.