El criterio de máxima distorsión (también criterio de rendimiento de von Mises [1] ) considera que el rendimiento de un material dúctil comienza cuando el segundo invariante de la tensión desviadora alcanza un valor crítico. [2] Es parte de la teoría de la plasticidad que se aplica mejor a los materiales dúctiles , como algunos metales. Antes del rendimiento, se puede suponer que la respuesta del material tiene un comportamiento elástico no lineal, viscoelástico o elástico lineal.
En ciencia e ingeniería de materiales , el criterio de rendimiento de von Mises también se puede formular en términos de la tensión de von Mises o tensión de tracción equivalente ,. Este es un valor escalar de tensión que se puede calcular a partir del tensor de tensión de Cauchy . En este caso, se dice que un material comienza a ceder cuando la tensión de von Mises alcanza un valor conocido como límite elástico ,. La tensión de von Mises se utiliza para predecir el rendimiento de materiales bajo cargas complejas a partir de los resultados de las pruebas de tracción uniaxiales. La tensión de von Mises satisface la propiedad en la que dos estados de tensión con la misma energía de distorsión tienen una tensión de von Mises igual.
Dado que el criterio de rendimiento de von Mises es independiente del primer invariante de tensión ,, es aplicable para el análisis de la deformación plástica de materiales dúctiles como los metales , ya que el inicio del rendimiento de estos materiales no depende del componente hidrostático del tensor de tensiones .
Aunque se ha creído que fue formulado por James Clerk Maxwell en 1865, Maxwell solo describió las condiciones generales en una carta a William Thomson (Lord Kelvin). [3] Richard Edler von Mises lo formuló rigurosamente en 1913. [2] [4] Tytus Maksymilian Huber (1904), en un artículo escrito en polaco, anticipó hasta cierto punto este criterio confiando adecuadamente en la energía de deformación de distorsión, no en la energía de tensión total como sus predecesores. [5] [6] [7] Heinrich Hencky formuló el mismo criterio que von Mises independientemente en 1924. [8] Por las razones anteriores, este criterio también se conoce como la teoría de Maxwell-Huber-Hencky-von Mises .
Formulación matemática
Matemáticamente, el criterio de rendimiento de von Mises se expresa como:
dónde es el límite elástico del material en corte puro. Como se muestra más adelante en este artículo, al inicio de la fluencia, la magnitud del esfuerzo cortante elástico en corte puro es √3 veces menor que el límite elástico por tracción en el caso de tensión simple. Así tenemos:
dónde es el límite elástico por tracción del material. Si establecemos la tensión de von Mises igual al límite elástico y combinamos las ecuaciones anteriores, el criterio de rendimiento de von Mises se puede expresar como:
o
Sustituyendo con términos de los componentes del tensor de tensión de Cauchy
- ,
donde s es el estrés desviador. Esta ecuación define la superficie de fluencia como un cilindro circular (Ver Figura) cuya curva de fluencia, o intersección con el plano desviador, es un círculo con radio, o . Esto implica que la condición de rendimiento es independiente de las tensiones hidrostáticas.
Ecuación de von Mises reducida para diferentes condiciones de estrés
Estrés uniaxial (1D)
En el caso de tensión uniaxial o tensión simple ,, el criterio de von Mises simplemente se reduce a
- ,
lo que significa que el material comienza a ceder cuando alcanza el límite elástico del material, de acuerdo con la definición de límite elástico a tracción (o compresión).
Tensión multiaxial (2D o 3D)
Un esfuerzo de tracción equivalente o un esfuerzo de von Mises equivalente ,se utiliza para predecir el rendimiento de materiales en condiciones de carga multiaxial utilizando los resultados de pruebas de tracción uniaxiales simples. Así, definimos
dónde son los componentes del tensor del desviador de tensión :
- .
En este caso, la fluencia ocurre cuando la tensión equivalente, , alcanza el límite elástico del material en tensión simple, . Como ejemplo, el estado de tensión de una viga de acero en compresión difiere del estado de tensión de un eje de acero bajo torsión, incluso si ambas muestras son del mismo material. En vista del tensor de tensión, que describe completamente el estado de tensión, esta diferencia se manifiesta en seis grados de libertad , porque el tensor de tensión tiene seis componentes independientes. Por lo tanto, es difícil saber cuál de los dos especímenes está más cerca del límite de fluencia o incluso lo ha alcanzado. Sin embargo, por medio del criterio de rendimiento de von Mises, que depende únicamente del valor de la tensión escalar de von Mises, es decir, un grado de libertad, esta comparación es sencilla: un valor de von Mises más grande implica que el material está más cerca del rendimiento. punto.
En el caso de esfuerzo cortante puro ,, mientras que todos los demás , el criterio de von Mises se convierte en:
- .
Esto significa que, al inicio de la fluencia, la magnitud del esfuerzo cortante en cortante puro es veces menor que el límite elástico en el caso de tensión simple. El criterio de fluencia de von Mises para el esfuerzo cortante puro, expresado en esfuerzos principales, es
En el caso de tensión en el plano principal , y , el criterio de von Mises se convierte en:
Esta ecuación representa una elipse en el plano .
Resumen
Estado de estrés | Condiciones de borde | ecuaciones de von Mises |
---|---|---|
General | Sin restricciones | |
Principales tensiones | ||
Esfuerzo plano general | ||
Tensión del plano principal | ||
Pura cizalla | ||
Uniaxial |
Interpretación física del criterio de rendimiento de von Mises
Hencky (1924) ofreció una interpretación física del criterio de von Mises sugiriendo que el rendimiento comienza cuando la energía elástica de distorsión alcanza un valor crítico. [6] Por esta razón, el criterio de von Mises también se conoce como el criterio de máxima energía de deformación por distorsión . Esto proviene de la relación entre y la energía de deformación elástica de distorsión :
- con el módulo de corte elástico .
En 1937 [9] Arpad L. Nadai sugirió que la fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante octaédrico alcanza un valor crítico, es decir, el esfuerzo cortante octaédrico del material en el rendimiento en tensión simple. En este caso, el criterio de rendimiento de von Mises también se conoce como el criterio de esfuerzo cortante octaédrico máximo en vista de la proporcionalidad directa que existe entre y el esfuerzo cortante octaédrico, , que por definición es
así tenemos
- La densidad de energía de deformación consta de dos componentes: volumétrico o dialacional y distorsionante. El componente volumétrico es responsable del cambio de volumen sin ningún cambio de forma. El componente de distorsión es responsable de la deformación por cizallamiento o cambio de forma.
Uso práctico de ingeniería del criterio de rendimiento de von Mises
El uso del criterio de von Mises como criterio de rendimiento solo es exactamente aplicable cuando las propiedades homogéneas del material son iguales a
Dado que ningún material tendrá esta relación con precisión, en la práctica es necesario utilizar el juicio de ingeniería para decidir qué teoría de fallas es apropiada para un material dado. Alternativamente, para el uso de la teoría de Tresca, la misma proporción se define como 1/2.
El margen de rendimiento de seguridad se escribe como
Aunque el criterio dado se basa en un fenómeno de fluencia, pruebas exhaustivas han demostrado que el uso de una tensión de "von Mises" es aplicable a la carga final [10]
Ver también
Referencias
- ^ "Criterio de Von Mises (criterio de energía de distorsión máxima)" . Filo de ingeniero . Consultado el 8 de febrero de 2018 .
- ^ a b von Mises, R. (1913). "Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Mathematisch-Physikalische Klasse. 1913 (1): 582–592.
- ^ "Teoría de la deformación de la plasticidad, p. 151, sección 4.5.6" . Consultado el 11 de junio de 2017 .
- ^ Ford (1963). Mecánica Avanzada de Materiales . Londres: Longmans.
- ^ Huber, MT (1904). "Właściwa praca odkształcenia jako miara wytezenia materiału". Czasopismo Techniczne . Lwów. 22 . Traducido como "Trabajo específico de deformación como medida de esfuerzo material" . Archivos de Mecánica . 56 : 173-190. 2004.
- ^ a b Hill, R. (1950). La teoría matemática de la plasticidad . Oxford: Clarendon Press.
- ^ Timoshenko, S. (1953). Historia de resistencia de materiales . Nueva York: McGraw-Hill.
- ^ Hencky, H. (1924). "Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannngen". Z. Angew. Matemáticas. Mech . 4 : 323–334. doi : 10.1002 / zamm.19240040405 .
- ^ SMA Kazimi. (mil novecientos ochenta y dos). Mecánica de sólidos. Tata McGraw-Hill. ISBN 0-07-451715-5
- ^ Stephen P. Timoshenko, Resistencia de los materiales, Parte I, 2a ed., 1940