En la teoría matemática de la probabilidad , el modelo de votante es un sistema de partículas interactivas introducido por Richard A. Holley y Thomas M. Liggett en 1975. [1]
Uno puede imaginar que hay un "votante" en cada punto de un gráfico conectado, donde las conexiones indican que hay alguna forma de interacción entre un par de votantes (nodos). Las opiniones de cualquier votante sobre algún tema cambian en momentos aleatorios bajo la influencia de las opiniones de sus vecinos. La opinión de un votante en un momento dado puede tomar uno de dos valores, etiquetados como 0 y 1. En momentos aleatorios, se selecciona una persona al azar y la opinión de ese votante se cambia de acuerdo con una regla estocástica. Específicamente, para uno de los vecinos del votante elegido se elige [ aclaración necesaria ] de acuerdo con un conjunto dado de probabilidades y la opinión de ese individuo se transfiere al votante elegido.
Una interpretación alternativa es en términos de conflicto espacial. Suponga que dos naciones controlan las áreas (conjuntos de nodos) etiquetadas con 0 o 1. Un cambio de 0 a 1 en una ubicación determinada indica una invasión de ese sitio por parte de la otra nación.
Tenga en cuenta que solo ocurre un giro cada vez. Los problemas que involucran el modelo de votante a menudo se reformularán en términos del sistema dual [ aclaración necesaria ] de unir [ aclaración necesaria ] cadenas de Markov . Con frecuencia, estos problemas se reducirán a otros que involucran cadenas de Markov independientes.
Definición
Un modelo de votante es un proceso de Markov (en tiempo continuo) con espacio de estado y función de tasas de transición , dónde es un entramado de enteros d-dimensional, y •, • se supone que es no negativo, uniformemente acotado y continuo en función de en la topología del producto en . Cada componentese llama configuración. Para dejar claro que representa el valor de un sitio x en la configuración ; tiempo significa el valor de un sitio x en la configuración en el momento .
La dinámica del proceso se especifica mediante la recopilación de tasas de transición . Para los modelos de votantes, la tasa a la que hay un cambio en de 0 a 1 o viceversa viene dado por una función del sitio . Tiene las siguientes propiedades:
- para cada Si o si
- para cada Si para todos
- Si y
- es invariante bajo cambios en
La propiedad (1) dice que y son puntos fijos para la evolución. (2) indica que la evolución no cambia al intercambiar los roles de 0 y 1. En propiedad (3), medio , y implica Si , e implica Si .
Agrupación y convivencia
Lo que nos interesa es el comportamiento limitante de los modelos. Dado que las tasas de inversión de un sitio dependen de sus vecinos, es obvio que cuando todos los sitios toman el mismo valor, todo el sistema deja de cambiar para siempre. Por lo tanto, un modelo de votante tiene dos distribuciones estacionarias extremas triviales, las masas puntuales y en o respectivamente, que representan el consenso. La cuestión principal que discutiremos es si existen o no otras, que luego representarían la coexistencia de diferentes opiniones en equilibrio. Decimos que la coexistencia ocurre si hay una distribución estacionaria que se concentra en configuraciones con infinitos ceros y unos. Por otro lado, si por todos y todas las configuraciones iniciales, tenemos:
diremos que se produce la agrupación .
Es importante distinguir la agrupación en clústeres con el concepto de clúster . Los clústeres se definen como los componentes conectados de o .
El modelo de votante lineal
Descripcion del modelo
Esta sección estará dedicada a uno de los modelos básicos de votante, el Modelo de votante lineal.
Dejar •, •ser las probabilidades de transición para un paseo aleatorio irreductible en,y tenemos:
Luego, en el modelo de votante lineal, las tasas de transición son funciones lineales de :
O si usamos para indicar que ocurre un cambio en el sitio , las tasas de transición son simplemente:
Definimos un proceso de unión de caminatas aleatorias. como sigue. Aquí denota el conjunto de sitios ocupados por estos paseos aleatorios en el momento . Definir, considere varias caminatas al azar (tiempo continuo) en con tiempos de espera unitarios exponenciales y probabilidades de transición •, •, y tomarlos como independientes hasta que dos de ellos se encuentren. En ese momento, los dos que se encuentran se fusionan en una partícula, que continúa moviéndose como un paseo aleatorio con probabilidades de transición.•, • .
El concepto de Dualidad es fundamental para analizar el comportamiento de los modelos de votantes. Los modelos de votante lineal satisfacen una forma muy útil de dualidad, conocida como dualidad coalescente , que es:
dónde es la configuración inicial de y es el estado inicial de los paseos aleatorios que se fusionan .
Limitar los comportamientos de los modelos de votantes lineales
Dejar ser las probabilidades de transición para un paseo aleatorio irreductible en y , entonces la relación de dualidad para tales modelos lineales de votantes dice que
dónde y son (tiempo continuo) caminatas al azar en con , , y es la posición que toma el paseo aleatorio en el momento . y forma un conjunto de paseos aleatorios que se describen al final de la sección 2.1 .es un paseo aleatorio simétricamente. Si es recurrente y , y golpeará eventualmente con probabilidad 1, y por lo tanto
Por lo tanto, el proceso se agrupa.
Por otro lado, cuando , el sistema convive. Es porque para, es transitorio, por lo tanto, existe una probabilidad positiva de que los paseos aleatorios nunca lleguen, y
por alguna constante correspondiente a la distribución inicial.
Ahora deja ser un paseo aleatorio simétrizado, tenemos los siguientes teoremas:
Teorema 2.1
El modelo de votante lineal racimos si es recurrente y coexiste si es transitorio. En particular,
- el proceso se agrupa si y , o si y ;
- el proceso coexiste si .
Observaciones : Para contrastar esto con el comportamiento de los modelos de votantes de umbral que se discutirán en la próxima sección, tenga en cuenta que si el modelo de votante lineal se agrupa o coexiste depende casi exclusivamente de la dimensión del conjunto de sitios, más que del tamaño de rango de interacción.
Teorema 2.2 Supongaes cualquier medida de probabilidad espacialmente ergódica e invariante de traducción en el espacio de estados, luego
- Si es recurrente, entonces ;
- Si es transitorio, entonces .
dónde es la distribución de ; significa convergencia débil, es una medida invariante extremal no trivial y .
Un modelo de votante lineal especial
Uno de los casos especiales interesantes del modelo de votante lineal, conocido como modelo de votante lineal básico , es el del espacio de estados:
Así que eso
En este caso, el proceso se agrupa si , mientras coexiste si . Esta dicotomía está estrechamente relacionada con el hecho de que un simple paseo aleatorio es recurrente si y transitorio si .
Clústeres en una dimensión d = 1
Para el caso especial con , y para cada . Sabemos por el teorema 2.2 que, por lo que la agrupación se produce en este caso. El objetivo de esta sección es ofrecer una descripción más precisa de este agrupamiento.
Como se mencionó anteriormente, los grupos de se definen como los componentes conectados de o . El tamaño medio del conglomerado para se define como:
siempre que exista el límite.
Proposición 2.3
Suponga que el modelo de votante tiene una distribución inicial y es una medida de probabilidad invariante de traslación, entonces
Tiempo de ocupación
Defina las funciones de tiempo de ocupación del modelo de elector lineal básico como:
Teorema 2.4
Suponga que para todo el sitio xy el tiempo t, , entonces como , casi seguro si
prueba
Por la desigualdad de Chebyshev y el lema de Borel-Cantelli , podemos obtener la siguiente ecuación:
El teorema sigue al dejar .
El modelo de votante de umbral
Descripcion del modelo
En esta sección, nos concentraremos en una especie de modelos de votantes no lineales, conocidos como modelo de votantes de umbral .
Para definirlo, dejemos ser un barrio de que se obtiene al intersecar con cualquier conjunto compacto, convexo, simétrico en ; en otras palabras, se supone que es un conjunto finito que es simétrico con respecto a todas las reflexiones e irreductible (es decir, el grupo que genera es ) Siempre asumiremos que contiene todos los vectores unitarios . Para un entero positivo, el modelo de votante de umbral con barrio y umbral es el que tiene la función de tasa:
En pocas palabras, la tasa de transición del sitio es 1 si el número de sitios que no toman el mismo valor es mayor o igual al umbral T. De lo contrario, el sitio permanece en el estado actual y no cambia.
Por ejemplo, si , y , luego la configuración es un estado absorbente o una trampa para el proceso.
Limitar los comportamientos del modelo de votante de umbral
Si un modelo de votante de umbral no fija, deberíamos esperar que el proceso coexistirá para un umbral pequeño y un grupo para un umbral grande, donde lo grande y lo pequeño se interpretan en relación con el tamaño del vecindario. . La intuición es que tener un umbral pequeño facilita que se produzcan cambios, por lo que es probable que haya muchos ceros y unos en todo momento. Los siguientes son tres resultados principales:
- Si , entonces el proceso se fija en el sentido de que cada sitio cambia solo con una frecuencia finita.
- Si y , luego el proceso se agrupa.
- Si con suficientemente pequeño) y suficientemente grande, entonces el proceso coexiste.
Aquí hay dos teoremas correspondientes a las propiedades (1) y (2).
Teorema 3.1
Si , entonces el proceso se fija.
Teorema 3.2
El modelo de votante umbral en una dimensión () con , racimos.
prueba
La idea de la demostración es construir dos secuencias de tiempos aleatorios. , por con las siguientes propiedades:
- ,
- están iidwith ,
- están iidwith ,
- las variables aleatorias en (b) y (c) son independientes entre sí,
- evento A = es constante en , y el evento A es válido para cada .
Una vez realizada esta construcción, se deducirá de la teoría de la renovación que
Por eso,, para que el proceso se agrupe.
Observaciones: (a) Los modelos de umbral en dimensiones más altas no necesariamente se agrupan si. Por ejemplo, tome y . Si es constante en franjas infinitas verticales alternas, es decir para todos :
entonces no se produce ninguna transición y el proceso se fija.
(b) Bajo el supuesto del Teorema 3.2 , el proceso no se fija. Para ver esto, considere la configuración inicial, en el que un número infinito de ceros va seguido de un número infinito de unos. Entonces, solo el cero y uno en el límite pueden voltearse, de modo que la configuración siempre se verá igual, excepto que el límite se moverá como un simple paseo simétrico aleatorio. El hecho de que esta caminata aleatoria sea recurrente implica que todos los sitios cambian infinitamente a menudo.
La propiedad 3 indica que el modelo de votante de umbral es bastante diferente del modelo de votante lineal, en que la coexistencia ocurre incluso en una dimensión, siempre que el vecindario no sea demasiado pequeño. El modelo de umbral tiene una deriva hacia la "minoría local", que no está presente en el caso lineal.
La mayoría de las pruebas de coexistencia para los modelos de votante umbral se basan en comparaciones con el modelo híbrido conocido como proceso de contacto umbral con parámetro.. Este es el proceso en con tasas de cambio:
Proposición 3.3
Para cualquier y , si el proceso de contacto de umbral con tiene una medida invariante no trivial, entonces coexiste el modelo de votante de umbral.
Modelo con umbral T = 1
El caso que es de especial interés porque es el único caso en el que actualmente sabemos exactamente qué modelos coexisten y qué modelos se agrupan.
En particular, estamos interesados en una especie de modelo de umbral T = 1 con que viene dado por:
se puede interpretar como el radio de la vecindad; determina el tamaño del vecindario (es decir, si , luego ; mientras que para, el correspondiente ).
Según el teorema 3.2 , el modelo con y racimos. El siguiente teorema indica que para todas las demás opciones de y , el modelo convive.
Teorema 3.4
Suponer que , pero . Luego, el modelo de umbral en con parámetro coexiste.
La prueba de este teorema se da en un artículo llamado "Coexistencia en modelos de votantes de umbral" por Thomas M. Liggett.
Ver también
Notas
- ^ Holley, Richard A .; Liggett, Thomas M. (1975). "Teoremas ergódicos para sistemas infinitos que interactúan débilmente y el modelo del votante" . Los anales de la probabilidad . 3 (4): 643–663. doi : 10.1214 / aop / 1176996306 . ISSN 0091-1798 .
Referencias
- Clifford, Peter; Aidan W. Sudbury (1973). "Un modelo de conflicto espacial". Biometrika . 60 (3): 581–588. doi : 10.1093 / biomet / 60.3.581 .
- Liggett, Thomas M. (1997). "Modelos estocásticos de sistemas interactivos" . Los anales de la probabilidad . Instituto de Estadística Matemática. 25 (1): 1–29. doi : 10.1214 / aop / 1024404276 . ISSN 0091-1798 .
- Liggett, Thomas M. (1994). "Coexistencia en modelos electorales de umbral" . Los anales de la probabilidad . 22 (2): 764–802. doi : 10.1214 / aop / 1176988729 .
- Cox, J. Theodore; David Griffeath (1983). "Teoremas de límite de tiempo de ocupación para el modelo de votante" . Los anales de la probabilidad . 11 (4): 876–893. doi : 10.1214 / aop / 1176993438 .
- Durrett, Richard ; Kesten, Harry (1991). Caminatas al azar, movimiento browniano y sistemas de partículas interactuantes . ISBN 0817635092.
- Liggett, Thomas M. (1985). Sistemas de partículas interactuantes . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.
- Thomas M. Liggett , "Sistemas de interacción estocástica: procesos de contacto, votante y exclusión", Springer-Verlag, 1999.