Código Hadamard

El código Hadamard es un código de corrección de errores que lleva el nombre de Jacques Hadamard y se utiliza para la detección y corrección de errores cuando se transmiten mensajes a través de canales muy ruidosos o poco fiables. En 1971, el código se utilizó para transmitir fotos de Marte a la Tierra desde la sonda espacial Mariner 9 de la NASA . ^[1] Debido a sus propiedades matemáticas únicas, el código Hadamard no solo es utilizado por ingenieros, sino que también se estudia intensamente en la teoría de la codificación , las matemáticas y la informática teórica . El código Hadamard también se conoce con los nombres de código Walsh , familia Walsh ,^[2] y el código Walsh-Hadamard ^[3] en reconocimiento al matemático estadounidense Joseph Leonard Walsh .

El código Hadamard es un ejemplo de un código lineal de longitud sobre un alfabeto binario . Desafortunadamente, este término es algo ambiguo ya que algunas referencias asumen una longitud de mensaje mientras que otras asumen una longitud de mensaje de . En este artículo, el primer caso se llama código Hadamard mientras que el segundo se llama código Hadamard aumentado .${\ Displaystyle 2 ^ {m}}$${\ Displaystyle k = m}$${\ Displaystyle k = m + 1}$

El código de Hadamard es único en el sentido de que cada palabra de código distinta de cero tiene un peso Hamming de exactamente , lo que implica que la distancia del código también lo es . En la notación de la teoría de codificación estándar para códigos de bloque , el código de Hadamard es un -código, es decir, es un código lineal sobre un alfabeto binario , tiene longitud de bloque , longitud (o dimensión) del mensaje y distancia mínima . La longitud del bloque es muy grande en comparación con la longitud del mensaje, pero por otro lado, los errores se pueden corregir incluso en condiciones extremadamente ruidosas.${\ Displaystyle 2 ^ {k-1}}$${\ Displaystyle 2 ^ {k-1}}$${\ Displaystyle [2 ^ {k}, k, 2 ^ {k-1}] _ {2}}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {k}}$${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {k} / 2}$

El código Hadamard aumentado es una versión ligeramente mejorada del código Hadamard; es un código y, por lo tanto, tiene una velocidad ligeramente mejor mientras mantiene la distancia relativa de y, por lo tanto, se prefiere en aplicaciones prácticas. En la teoría de la comunicación, esto simplemente se llama código Hadamard y es el mismo que el código Reed-Muller de primer orden sobre el alfabeto binario. ^[4]${\ Displaystyle [2 ^ {k}, k + 1,2 ^ {k-1}] _ {2}}$${\ Displaystyle 1/2}$

Matriz del código Hadamard aumentado [32, 6, 16] para el código Reed-Muller (1, 5) de la sonda espacial Mariner 9 de la NASA

Operaciones XOR
Aquí los campos blancos representan 0
y los campos rojos 1