En la teoría cuántica de campos , una identidad de Ward-Takahashi es una identidad entre funciones de correlación que se deriva de las simetrías globales o de calibre de la teoría, y que sigue siendo válida después de la renormalización .
La identidad de Ward-Takahashi de la electrodinámica cuántica (QED) fue utilizada originalmente por John Clive Ward [1] y Yasushi Takahashi [2] para relacionar la función de onda de renormalización del electrón con su factor de renormalización de vértice , garantizando la cancelación de la divergencia ultravioleta a todos los órdenes de la teoría de la perturbación . Los usos posteriores incluyen la extensión de la demostración del teorema de Goldstone a todos los órdenes de la teoría de perturbaciones.
De manera más general, una identidad de Ward-Takahashi es la versión cuántica de la conservación de corriente clásica asociada a una simetría continua por el teorema de Noether . Tales simetrías en la teoría cuántica de campos (casi) siempre dan lugar a estas identidades generalizadas de Ward-Takahashi que imponen la simetría en el nivel de las amplitudes de la mecánica cuántica. Este sentido generalizado debe distinguirse al leer literatura, como el libro de texto de Michael Peskin y Daniel Schroeder , [3] de la identidad original de Ward-Takahashi.
La discusión detallada a continuación se refiere a la QED, una teoría abeliana a la que se aplica la identidad Ward-Takahashi. Las identidades equivalentes para teorías no abelianas como la cromodinámica cuántica (QCD) son las identidades Slavnov-Taylor .
Identidad Ward-Takahashi
La identidad Ward-Takahashi se aplica a las funciones de correlación en el espacio de momento , que no necesariamente tienen todos sus momentos externos en la cáscara . Dejar
ser una función de correlación QED que implica un fotón externo con momento k (dondees el vector de polarización del fotón y la suma sobreestá implícito), n electrones de estado inicial con momentos, y n electrones de estado final con momentos. También definaser la amplitud más simple que se obtiene al eliminar el fotón con momento k de nuestra amplitud original. Luego, la identidad Ward-Takahashi dice
donde e es la carga del electrón y es de signo negativo. Tenga en cuenta que sitiene sus electrones externos en la capa, entonces las amplitudes en el lado derecho de esta identidad tienen cada una una partícula externa fuera de la capa y, por lo tanto, no contribuyen a los elementos de la matriz S.
Identidad de barrio
La identidad de Ward es una especialización de la identidad de Ward-Takahashi en los elementos de la matriz S , que describen procesos de dispersión físicamente posibles y, por lo tanto, tienen todas sus partículas externas en la cáscara . Otra vez deja ser la amplitud para algún proceso QED que involucre un fotón externo con impulso , dónde es el vector de polarización del fotón. Luego, la identidad del barrio dice:
Físicamente, lo que esta identidad significa es que la polarización longitudinal del fotón que surge en el indicador ξ no es física y desaparece de la matriz S.
Ejemplos de su uso incluyen restringir la estructura tensorial de la polarización de vacío y de la función de vértice de electrones en QED.
Derivación en la formulación integral del camino
En la formulación de la integral de trayectoria, las identidades de Ward-Takahashi son un reflejo de la invariancia de la medida funcional bajo una transformación de calibre . Más precisamente, si representa una transformación de calibre por (y esto se aplica incluso en el caso de que la simetría física del sistema sea global o incluso inexistente; aquí solo nos preocupa la invariancia de la medida funcional ), entonces
expresa la invariancia de la medida funcional donde S es la acción yes un funcional de los campos . Si la transformación de calibre corresponde a una simetría global de la teoría, entonces,
para algunos J " actuales " (como funcional de los campos) después de integrar por partes y asumir que los términos superficiales pueden despreciarse.
Entonces, las identidades Ward-Takahashi se vuelven
Este es el análogo QFT de la ecuación de continuidad de Noether .
Si la transformación de calibre corresponde a una simetría de calibre real , entonces
donde S es la acción invariante de calibre y S gf es un término de fijación de calibre no invariante de calibre .
Pero tenga en cuenta que incluso si no hay una simetría global (es decir, la simetría se rompe), todavía tenemos una identidad Ward-Takahashi que describe la tasa de no conservación de la carga.
Si la medida funcional no es invariante de calibre, pero cumple
dónde es algo funcional de los campos , tenemos una identidad Ward-Takahashi anómala , por ejemplo, cuando los campos tienen una anomalía quiral .
Referencias
- ^ Ward, John Clive (1950). "Una identidad en electrodinámica cuántica". Revisión física . 78 (2): 182. Bibcode : 1950PhRv ... 78..182W . doi : 10.1103 / PhysRev.78.182 .
- ^ Takahashi, Yasushi (1957). "Sobre la identidad de la sala generalizada". Il Nuovo Cimento . 6 (2): 371–375. Código bibliográfico : 1957NCim .... 6..371T . doi : 10.1007 / BF02832514 .
- ^ Peskin, Michael E .; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Westview Press. Sección 7.4 ("La identidad Ward-Takahashi"). ISBN 978-0-201-50397-5.