Dejar
ser arreglado. Asumir
, dónde
tiene un número infinito de derivadas en la vecindad de
, con
, y
.
Supongamos, además, que
![{\displaystyle |\varphi (t)|<Ke^{bt}\ \forall t>0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
son independientes de
, o eso
![{\displaystyle \int _{0}^{T}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, es cierto que para todo positivo
que
![{\displaystyle \left|\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y que se cumple la siguiente equivalencia asintótica :
![{\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}},\ \ (x>0,\ x\rightarrow \infty ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Véase, por ejemplo, Watson (1918) para la prueba original o Miller (2006) para un desarrollo más reciente.
Demostraremos la versión del lema de Watson que asume que
tiene como mucho un crecimiento exponencial como
. La idea básica detrás de la prueba es que aproximaremos
por un número finito de términos de su serie de Taylor. Dado que las derivadas de
solo se supone que existen en una vecindad del origen, esencialmente procederemos eliminando la cola de la integral, aplicando el teorema de Taylor con el resto en el intervalo pequeño restante, y luego volviendo a agregar la cola al final. En cada paso, calcularemos cuidadosamente cuánto estamos tirando o agregando. Esta prueba es una modificación de la encontrada en Miller (2006) .
Dejar
y supongamos que
es una función medible de la forma
, dónde
y
tiene un número infinito de derivadas continuas en el intervalo
para algunos
, y eso
para todos
, donde las constantes
y
son independientes de
.
Podemos demostrar que la integral es finita para
lo suficientemente grande escribiendo
![{\displaystyle (1)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y estimando cada término.
Para el primer trimestre tenemos
![{\displaystyle \left|\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{0}^{\delta }e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\leq \int _{0}^{\delta }|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
, donde la última integral es finita por los supuestos de que
es continuo en el intervalo
y eso
. Para el segundo término usamos el supuesto de que
está exponencialmente acotado para ver que, para
,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\delta }^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\right|&\leq \int _{\delta }^{T}e^{-xt}|\varphi (t)|\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{T}e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&\leq K\int _{\delta }^{\infty }e^{(b-x)t}\,\mathrm {d} t\\&=K\,{\frac {e^{(b-x)\delta }}{x-b}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La finitud de la integral original se sigue de aplicar la desigualdad del triángulo a
.
Podemos deducir del cálculo anterior que
![{\displaystyle (2)\quad \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
como
.
Apelando al teorema de Taylor con resto , sabemos que, para cada entero
,
![g(t) = \sum_{n=0}^{N} \frac{g^{(n)}(0)}{n!}\,t^n + \frac{g^{(N+1)}(t^*)}{(N+1)!}\,t^{N+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
, dónde
. Conectando esto al primer término en
obtenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}(3)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\delta }e^{-xt}t^{\lambda }g(t)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{(N+1)!}}\int _{0}^{\delta }g^{(N+1)}(t^{*})\,t^{\lambda +N+1}e^{-xt}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para acotar el término que involucra al resto usamos la suposición de que
es continuo en el intervalo
, y en particular está limitado allí. Como tal, vemos que
![\begin{align}
\left|\int_0^\delta g^{(N+1)}(t^*)\, t^{\lambda+N+1} e^{-xt}\,\mathrm dt\right| &\leq \sup_{t \in [0,\delta]} \left|g^{(N+1)}(t)\right| \int_0^\delta t^{\lambda+N+1} e^{-xt}\,\mathrm dt \\
&< \sup_{t \in [0,\delta]} \left|g^{(N+1)}(t)\right| \int_0^\infty t^{\lambda+N+1} e^{-xt}\,\mathrm dt \\
&= \sup_{t \in [0,\delta]} \left|g^{(N+1)}(t)\right| \,\frac{\Gamma(\lambda + N + 2)}{x^{\lambda+N+2}}.
\end{align}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí hemos utilizado el hecho de que
![\int_0^\infty t^a e^{-xt}\,\mathrm dt = \frac{\Gamma(a+1)}{x^{a+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si
y
, dónde
es la función gamma .
Del cálculo anterior vemos de
que
![{\displaystyle (4)\quad \int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)}{n!}}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
como
.
Ahora agregaremos las colas a cada integral en
. Para cada
tenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}-\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y mostraremos que las integrales restantes son exponencialmente pequeñas. De hecho, si hacemos el cambio de variables
obtenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\delta }^{\infty }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t&=\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-x(s+\delta )}\,ds\\[5pt]&=e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-xs}\,ds\\[5pt]&\leq e^{-\delta x}\int _{0}^{\infty }(s+\delta )^{\lambda +n}e^{-s}\,ds\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
, así que eso
![{\displaystyle \int _{0}^{\delta }t^{\lambda +n}e^{-xt}\,\mathrm {d} t={\frac {\Gamma (\lambda +n+1)}{x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right){\text{ as }}x\to \infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si sustituimos este último resultado en
encontramos eso
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\delta }e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(e^{-\delta x}\right)+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
como
. Finalmente, sustituyendo esto en
concluimos que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)+O\left(x^{-1}e^{-\delta x}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}+O\left(x^{-\lambda -N-2}\right)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
como
.
Dado que esta última expresión es verdadera para cada entero
así hemos demostrado que
![{\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-xt}\varphi (t)\,\mathrm {d} t\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {g^{(n)}(0)\ \Gamma (\lambda +n+1)}{n!\ x^{\lambda +n+1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
como
, donde la serie infinita se interpreta como una expansión asintótica de la integral en cuestión.
Cuándo
, la función hipergeométrica confluente del primer tipo tiene la representación integral
![{}_1F_1(a,b,x) = \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a) \Gamma(b-a)}\int_0^1 e^{xt} t^{a-1} (1-t)^{b-a-1}\,\mathrm dt,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es la función gamma . El cambio de variables
pone esto en la forma
![{}_1F_1(a,b,x) = \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a) \Gamma(b-a)}\,e^x\int_0^1 e^{-xs} (1-s)^{a-1} s^{b-a-1}\,ds,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que ahora se presta al uso del lema de Watson. Tomando
y
, El lema de Watson nos dice que
![\int_0^1 e^{-xs} (1-s)^{a-1} s^{b-a-1}\,ds \sim \Gamma(b-a) x^{a-b} \quad \text{as } x \to \infty \text{ with } x > 0,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que nos permite concluir que
![{}_1F_1(a,b,x) \sim \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}\,x^{a-b} e^x \quad \text{as } x \to \infty \text{ with } x > 0.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)