Límite cardinal

En matemáticas , los cardinales límite son ciertos números cardinales . Un número cardinal λ es un cardinal de límite débil si λ no es un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que uno no puede "alcanzar" λ de otro cardenal mediante operaciones sucesivas repetidas. Estos cardenales a veces se denominan simplemente "cardenales límite" cuando el contexto es claro.

Un λ cardinal es un cardinal de límite fuerte si no se puede alcanzar λ mediante operaciones repetidas de powerset . Esto significa que λ es distinto de cero y, para todo κ < λ , 2 ^κ < λ . Cada cardinal de límite fuerte es también un cardinal de límite débil, porque κ ⁺ ≤ 2 ^κ para cada κ cardinal , donde κ ⁺ denota el cardinal sucesor de κ .

El primer cardinal infinito, ( aleph-nught ), es un cardinal de límite fuerte y, por lo tanto, también un cardinal de límite débil. ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

Una forma de construir cardenales de límite es a través de la operación de unión: es un cardenal de límite débil, definido como la unión de todos los alephs anteriores a él; y en general para cualquier límite ordinal λ es un límite débil cardinal. ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$

La operación ב se puede utilizar para obtener cardinales de límite fuerte. Esta operación es un mapa de ordinales a cardinales definidos como

Si se cumple el axioma de elección , cada número cardinal tiene un ordinal inicial . Si ese ordinal inicial es, entonces el número cardinal tiene la forma del mismo subíndice ordinal λ . El ordinal λ determina si es un cardinal de límite débil. Porque si λ es un ordinal sucesor, entonces no es un límite débil. A la inversa, si un cardinal κ es un cardinal sucesor, digamos entonces. Así, en general, es un cardinal de límite débil si y solo si λ es cero o un ordinal de límite. ${\ Displaystyle \ omega _ {\ lambda} \ ,,}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha ^ {+}} = (\ aleph _ {\ alpha}) ^ {+} \ ,,}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ kappa = (\ aleph _ {\ alpha}) ^ {+} \ ,,}$ ${\ Displaystyle \ kappa = \ aleph _ {\ alpha ^ {+}} \ ,.}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$