En la física teórica , la Weinberg-Witten ( WW ) teorema , demostrado por Steven Weinberg y Edward Witten , afirma que las partículas sin masa (compuesto o elemental) con espín j > medio no puede llevar una Lorentz-covariante actual, mientras que las partículas sin masa con spin j > 1 no puede llevar una energía de tensión covariante de Lorentz . El teorema generalmente se interpreta en el sentido de que el gravitón ( j = 2) no puede ser una partícula compuesta en una teoría de campo cuántica relativista .
Fondo
Durante la década de 1980, las teorías de preon , el tecnicolor y similares fueron muy populares y algunas personas especularon que la gravedad podría ser un fenómeno emergente o que los gluones podrían ser compuestos . Weinberg y Witten, por otro lado, desarrollaron un teorema de no ir que excluye, bajo supuestos muy generales, las hipotéticas teorías compuestas y emergentes. Décadas más tarde se proponen nuevas teorías de la gravedad emergente y algunos físicos de alta energía todavía están usando este teorema para intentar refutar tales teorías. Debido a que la mayoría de estas teorías emergentes no son covariantes de Lorentz, el teorema de WW no se aplica. Sin embargo, la violación de la covarianza de Lorentz suele generar otros problemas. [ cita requerida ]
Teorema
Weinberg y Witten demostraron dos resultados separados. Según ellos, el primero se lo debe a Sidney Coleman , quien no lo publicó:
- Una QFT ( teoría cuántica de campos ) 3 + 1D con una corriente conservada de 4 vectores(ver cuatro corrientes ) que es covariante de Poincaré (e invariante de calibre si hay alguna simetría de calibre que no ha sido fijada por calibre ) no admite partículas sin masa con helicidad | h | > 1/2 que también tienen cargas distintas de cero asociadas con la corriente conservada en cuestión.
- Un QFT 3 + 1D con un tensor de esfuerzo-energía conservado distinto de cero que es covariante de Poincaré (e invariante de calibre si hay alguna simetría de calibre que no ha sido fijada por calibre ) no admite partículas sin masa con helicidad | h | > 1.
Un boceto de la prueba
La carga conservada Q viene dada por. Consideraremos los elementos matriciales de la carga y de la corriente para estados asintóticos de una partícula, de igual helicidad, y , etiquetados por sus 4 momentos de luz . Consideraremos el caso en el queno es nulo, lo que significa que la transferencia de impulso es similar a un espacio . Sea q el valor propio de esos estados para el operador de carga Q , de modo que:
donde ahora hemos hecho uso de la covarianza traslacional, que es parte de la covarianza de Poincaré. Por lo tanto:
con .
Transformemos a un sistema de referencia donde p se mueve a lo largo del eje z positivo y p ′ se mueve a lo largo del eje z negativo . Esto siempre es posible para cualquier transferencia de impulso espacial .
En este marco de referencia, y cambio por el factor de fase bajo rotaciones por θ en sentido antihorario alrededor del eje z mientras que y cambio por los factores de fase y respectivamente.
Si h es distinto de cero, necesitamos especificar las fases de los estados. En general, esto no se puede hacer de manera invariante de Lorentz (ver la precesión de Thomas ), pero el espacio de una partícula de Hilbert es covariante de Lorentz. Entonces, si hacemos una elección arbitraria pero fija para las fases, entonces cada uno de los componentes de la matriz en el párrafo anterior tiene que ser invariante bajo las rotaciones sobre el eje z . Entonces, a menos que | h | = 0 o 1/2, todos los componentes deben ser cero.
Weinberg y Witten no asumieron la continuidad
- .
Más bien, los autores argumentan que los números cuánticos físicos (es decir, los medibles) de una partícula sin masa siempre están definidos por los elementos de la matriz en el límite del momento cero, definido para una secuencia de transferencias de momento espaciales. También,en la primera ecuación se puede reemplazar por la función delta de Dirac " difuminada " , que corresponde a realizar la integral de volumen sobre una caja finita.
La demostración de la segunda parte del teorema es completamente análoga, reemplazando los elementos de la matriz de la corriente con los elementos de la matriz del tensor de tensión-energía :
- y
con .
Para transferencias de momento de tipo espacial, podemos ir al marco de referencia donde p ′ + p está a lo largo del eje t y p ′ - p está a lo largo del eje z . En este marco de referencia, los componentes de se transforma como , ,, o bajo una rotación por θ alrededor del eje z . Del mismo modo, podemos concluir que
Tenga en cuenta que este teorema también se aplica a las teorías de campo libre . Si contienen partículas sin masa con la helicidad / carga "incorrecta", tienen que ser teorías de calibre.
Descartando teorías emergentes
¿Qué tiene que ver este teorema con las teorías de emergencia / compuestas?
Si digamos que la gravedad es una teoría emergente de una teoría fundamentalmente plana sobre un espacio-tiempo plano de Minkowski , entonces, según el teorema de Noether , tenemos un tensor de tensión-energía conservado que es covariante de Poincaré. Si la teoría tiene una simetría de calibre interna (del tipo Yang-Mills), podemos elegir el tensor de tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld que es invariante de calibre. Como no hay simetría de difeomorfismo fundamental , no tenemos que preocuparnos por que este tensor no esté cerrado por BRST bajo difeomorfismos. Entonces, se aplica el teorema de Weinberg-Witten y no podemos obtener un gravitón compuesto / emergente de espín-2 (es decir, helicidad ± 2) sin masa .
Si tenemos una teoría con una corriente 4 fundamental conservada asociada con una simetría global , entonces no podemos tener partículas de espín 1 sin masa emergentes / compuestas que estén cargadas bajo esa simetría global.
Teorías donde el teorema es inaplicable
Teorías del calibre no beliano
Hay varias formas de ver por qué las teorías no belianas de Yang-Mills en la fase de Coulomb no violan este teorema. Las teorías de Yang-Mills no tienen ninguna corriente 4 conservada asociada con las cargas de Yang-Mills que son tanto covariantes de Poincaré como invariantes de calibre. El teorema de Noether da una corriente que se conserva y es covariante de Poincaré, pero no invariante de calibre. Como | p > es realmente un elemento de la cohomología BRST , es decir, un espacio de cociente , es realmente una clase de equivalencia de estados. Como tal,sólo está bien definido si J es BRST-cerrado. Pero si J no es invariante en cuanto al calibre, entonces J no está cerrado por BRST en general. La corriente definida como no se conserva porque satisface en vez de donde D es la derivada covariante . La corriente definida después de una fijación de calibre como el calibre de Coulomb se conserva pero no es covariante de Lorentz.
Teorías de gauge rotas espontáneamente
Los bosones gauge asociados con simetrías rotas espontáneamente son masivos. Por ejemplo, en QCD , tenemos mesones rho cargados eléctricamente que pueden describirse mediante una simetría de gauge oculta emergente que se rompe espontáneamente. Por lo tanto, no hay nada, en principio, nos impide tener modelos Preon compuestos de W y Z bosones .
En una nota similar, aunque el fotón está cargado bajo la simetría débil SU (2) (porque es el bosón gauge asociado con una combinación lineal de isospín débil e hipercarga), también se mueve a través de un condensado de tales cargas, y por lo tanto, no es un estado propio exacto de las cargas débiles y este teorema tampoco se aplica.
Gravedad masiva
En una nota similar, es posible tener una teoría compuesta / emergente de la gravedad masiva .
Relatividad general
En GR, tenemos difeomorfismos y A | ψ> (sobre un elemento | ψ> de la cohomología BRST) solo tiene sentido si A es BRST-cerrado. No hay operadores locales BRST cerrados y esto incluye cualquier tensor de tensión-energía que podamos imaginar.
Como explicación alternativa, tenga en cuenta que el tensor de tensión para GR puro desaparece (esta afirmación es equivalente a la ecuación de Einstein del vacío) y el tensor de tensión para GR acoplado a la materia es solo el tensor de tensión de la materia. Este último no se conserva,, sino más bien dónde es la derivada covariante.
Gravedad inducida
En la gravedad inducida, la teoría fundamental también es invariante en difeomorfismo y se aplica el mismo comentario.
Dualidad de Seiberg
Si tomamos N = 1 super QCD quiral con N c colores y N f sabores con , entonces por la dualidad de Seiberg , esta teoría es dual a una no beliana teoría del calibre que es trivial (es decir, gratis) en el límite del infrarrojo . Como tal, la teoría dual no sufre ningún problema de infrapartículas o un espectro de masas continuo. A pesar de esto, la teoría dual sigue siendo una teoría de Yang-Mills no beliana. Debido a esto, la corriente magnética dual todavía sufre los mismos problemas a pesar de que es una "corriente emergente". Las teorías libres no están exentas del teorema de Weinberg-Witten.
Teoría de campos conformales
En una teoría de campo conforme, las únicas partículas verdaderamente sin masa son los singleton que no interactúan (ver campo singleton ). Las otras "partículas" / estados ligados tienen un espectro de masas continuo que puede tomar cualquier masa distinta de cero arbitrariamente pequeña. Entonces, podemos tener estados ligados de espín-3/2 y espín-2 con masas arbitrariamente pequeñas, pero aún así no violar el teorema. En otras palabras, son infrapartículas .
Infrapartículas
Dos infrapartículas cargadas idénticas que se mueven con diferentes velocidades pertenecen a diferentes sectores de superselección . Digamos que tienen momentos p ′ y p respectivamente. Entonces, como J μ (0) es un operador neutral local , no se asigna entre diferentes sectores de superselección. Entonces,es cero. La única forma | p ′ '> y | p > pueden pertenecer al mismo sector si tienen la misma velocidad, lo que significa que son proporcionales entre sí, es decir, una transferencia de momento nulo o cero, que no se cubre en la prueba. Entonces, las infrapartículas violan el supuesto de continuidad
Esto no significa, por supuesto, que el impulso de una partícula de carga no pueda cambiar por algún impulso espacial. Solo significa que si el estado entrante es un estado de una infrapartícula, entonces el estado saliente contiene una infrapartícula junto con varios cuantos blandos. Esto no es más que la inevitable bremsstrahlung . Pero esto también significa que el estado saliente no es un estado de una sola partícula.
Teorías con cargas no locales
Obviamente, una carga no local no tiene una corriente 4 local y una teoría con un momento 4 no local no tiene un tensor local de tensión-energía.
Teorías métricas acústicas y modelo analógico de gravedad
Estas teorías no son covariantes de Lorentz. Sin embargo, algunas de estas teorías pueden dar lugar a una simetría de Lorentz emergente aproximada a bajas energías para que ambos podamos tener el pastel y comérnoslo también.
Teoría de supercuerdas
Teoría de supercuerdas definida sobre una métrica de fondo (posiblemente con algunos flujos) sobre un espacio 10D que es el producto de un espacio plano 4D Minkowski y un espacio compacto 6D tiene un gravitón sin masa en su espectro. Esta es una partícula emergente que proviene de las vibraciones de una supercuerda. Veamos cómo definiríamos el tensor estrés-energía. El trasfondo viene dado por g (la métrica) y un par de otros campos. La acción efectiva es funcional del fondo. El VEV del tensor esfuerzo-energía se define entonces como la derivada funcional
El operador de tensión-energía se define como un operador de vértice correspondiente a este cambio infinitesimal en la métrica de fondo.
No se permiten todos los antecedentes. Las supercuerdas deben tener simetría superconformal , que es una súper generalización de la simetría de Weyl , para ser consistentes, pero solo son superconformales cuando se propagan sobre algunos fondos especiales (que satisfacen las ecuaciones de campo de Einstein más algunas correcciones de orden superior). Debido a esto, la acción efectiva solo se define sobre estos antecedentes especiales y la derivada funcional no está bien definida. El operador de vértice para el tensor tensión-energía en un punto tampoco existe.
Referencias
- Weinberg, Steven; Witten, Edward (1980). "Límites de partículas sin masa". Physics Letters B . 96 (1–2): 59–62. Código Bibliográfico : 1980PhLB ... 96 ... 59W . doi : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90212-9 .
- Jenkins, Alejandro (2006). Temas en física de partículas y cosmología más allá del modelo estándar (Tesis). arXiv : hep-th / 0607239 . Código bibliográfico : 2006PhDT ........ 96J . (ver el Capítulo 2 para una revisión detallada)