En física matemática , el tensor de Belinfante - Rosenfeld es una modificación del tensor de energía-momento que se construye a partir del tensor canónico de energía-momento y la corriente de espín para que sea simétrico pero aún conservado.
En una teoría de campo local clásica o cuántica , el generador de transformaciones de Lorentz se puede escribir como una integral
de una corriente local
Aquí es el tensor canónico de energía-momento de Noether , yes la contribución del momento angular intrínseco (espín) . Conservación local del momento angular
requiere que
Por tanto, una fuente de corriente de espín implica un tensor canónico de energía-momento no simétrico.
El tensor de Belinfante-Rosenfeld [1] [2] es una modificación del tensor de momento de energía
que se construye a partir del tensor de momento de energía canónica y la corriente de espín para ser simétrico pero aún conservado.
Una integración por partes muestra que
y así, una interpretación física del tensor de Belinfante es que incluye el "momento ligado" asociado con los gradientes del momento angular intrínseco. En otras palabras, el término agregado es un análogo del" corriente ligada " asociada con una densidad de magnetización.
La curiosa combinación de componentes de la corriente de espín necesaria para hacer simétrico y aún conservado parece totalmente ad hoc , pero tanto Rosenfeld como Belinfante demostraron que el tensor modificado es precisamente el tensor simétrico de energía-momento de Hilbert que actúa como la fuente de gravedad en la relatividad general . Así como es la suma de las corrientes ligadas y libres lo que actúa como fuente del campo magnético, es la suma de la energía ligada y libre-momento que actúa como fuente de gravedad.
El tensor de energía-momento de Hilbert se define por la variación de la acción funcional con respecto a la métrica como
o equivalentemente como
(El signo menos en la segunda ecuación surge porque porque )
También podemos definir un tensor de energía-momento variando un vierbein ortonormal de Minkowski Llegar
Aquí es la métrica de Minkowski para el marco de vierbein ortonormal, y son los covectors duales a los vierbeins.
Con la variación de vierbein, no hay una razón inmediatamente obvia para ser simétrico. Sin embargo, la acción funcional debe ser invariante bajo una transformación de Lorentz local infinitesimal , , y entonces
debe ser cero. Como es una matriz simétrica de sesgo dependiente de la posición arbitraria, vemos que Lorentz local y la invariancia de rotación requieren e implican que .
Una vez que sepamos eso es simétrico, es fácil demostrar que , por lo que el tensor de energía-momento de variación de vierbein es equivalente al tensor de Hilbert de variación métrica.
Ahora podemos entender el origen de la modificación Belinfante-Rosefeld del tensor de momento de energía canónica de Noether. Toma la acción para ser dónde es la conexión de espín que está determinada pora través de la condición de ser compatible con el sistema métrico y sin torsión. La corriente de giro luego se define por la variación
la barra vertical denota que el se mantienen fijos durante la variación. El tensor de impulso de energía de Noether "canónico" es la parte que surge de la variación donde mantenemos fija la conexión de giro:
Luego
Ahora, para una conexión sin torsión y compatible con métricas, tenemos eso
donde estamos usando la notación
Usando la variación de conexión de espín, y después de una integración por partes, encontramos
Así vemos que las correcciones al tensor canónico de Noether que aparecen en el tensor de Belinfante-Rosenfeld ocurren porque necesitamos variar simultáneamente el vierbein y la conexión de espín si queremos preservar la invariancia de Lorentz local.
Como ejemplo, considere el lagrangiano clásico para el campo de Dirac
Aquí las derivadas covariantes de espinor son
Por lo tanto, obtenemos
No hay contribución de si usamos las ecuaciones de movimiento, es decir, estamos en cáscara.
Ahora
Si son distintos y cero en caso contrario. Como consecuenciaes totalmente antisimétrico. Ahora, usando este resultado, y nuevamente las ecuaciones de movimiento, encontramos que
Así, el tensor de Belinfante-Rosenfeld se convierte en
Por lo tanto, se considera que el tensor de Belinfante-Rosenfeld para el campo de Dirac es el tensor canónico simétrico de energía-momento.
Weinberg define el tensor de Belinfante como [3]
dónde es la densidad lagrangiana , el conjunto {Ψ} son los campos que aparecen en el lagrangiano, el tensor de momento de energía no belinfante se define por
y son un conjunto de matrices que satisfacen el álgebra del grupo de Lorentz homogéneo [4]
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