El término matemático problema bien planteado proviene de una definición dada por el matemático francés del siglo XX Jacques Hadamard . Creía que los modelos matemáticos de fenómenos físicos deberían tener las propiedades que:
Ejemplos de problemas arquetípicos bien planteados incluyen el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace y la ecuación del calor con condiciones iniciales especificadas. Estos pueden considerarse problemas "naturales" en el sentido de que existen procesos físicos modelados por estos problemas.
Los problemas que no están bien planteados en el sentido de Hadamard se denominan mal planteados . Los problemas inversos suelen estar mal planteados. Por ejemplo, la ecuación inversa del calor, que deduce una distribución previa de temperatura de los datos finales, no está bien planteada porque la solución es muy sensible a los cambios en los datos finales.
Los modelos continuos a menudo deben discretizarse para obtener una solución numérica. Si bien las soluciones pueden ser continuas con respecto a las condiciones iniciales, pueden sufrir inestabilidad numérica cuando se resuelven con precisión finita o con errores en los datos. Incluso si un problema está bien planteado, aún puede estar mal condicionado , lo que significa que un pequeño error en los datos iniciales puede resultar en errores mucho mayores en las respuestas. Los problemas en los sistemas complejos no lineales (los llamados sistemas caóticos ) proporcionan ejemplos bien conocidos de inestabilidad. Un problema de mal estado se indica mediante un gran número de condiciones .
Si el problema está bien planteado, entonces existe una buena posibilidad de solución en una computadora que utilice un algoritmo estable . Si no está bien planteado, debe reformularse para un tratamiento numérico. Normalmente, esto implica la inclusión de supuestos adicionales, como la suavidad de la solución. Este proceso se conoce como regularización . La regularización de Tikhonov es una de las más utilizadas para la regularización de problemas lineales mal planteados.
Un método para determinar si un problema está bien planteado es el método energético. El método se basa en derivar una estimación de energía para un problema dado.