teorema de equidistribución

se distribuye uniformemente en el círculo , cuando a es un número irracional . Es un caso especial del teorema ergódico donde se toma la medida del ángulo normalizado .${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mu ={\frac {d\theta }{2\pi }}}$

Si bien este teorema fue demostrado en 1909 y 1910 por separado por Hermann Weyl , Wacław Sierpiński y Piers Bohl , las variantes de este teorema continúan siendo estudiadas hasta el día de hoy.

En 1916, Weyl demostró que la secuencia a , 2 ² a , 3 ² a , ... mod 1 se distribuye uniformemente en el intervalo unitario. En 1937, Ivan Vinogradov demostró que la secuencia p _n a mod 1 se distribuye uniformemente, donde p _n es el n -ésimo primo . La prueba de Vinogradov fue un subproducto de la extraña conjetura de Goldbach , que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres números primos.

George Birkhoff , en 1931, y Aleksandr Khinchin , en 1933, demostraron que la generalización x  +  na , para casi todo x , está equidistribuida en cualquier subconjunto medible de Lebesgue del intervalo unitario. Las generalizaciones correspondientes para los resultados de Weyl y Vinogradov fueron probadas por Jean Bourgain en 1988.

se cumple para casi todo x y cualquier función integrable de Lebesgue ƒ. En las formulaciones modernas, se pregunta bajo qué condiciones la identidad

Un resultado digno de mención es que la secuencia 2 ^k a mod 1 se distribuye uniformemente para casi todos los a  irracionales, pero no todos . De manera similar, para la sucesión b _k  = 2 ^k a, para todo irracional a , y casi todo x , existe una función ƒ para la cual la suma diverge. En este sentido, esta secuencia se considera una secuencia de promediación universalmente mala , a diferencia de b _k  =  k , que se denomina secuencia de promediación universalmente buena , porque no tiene este último inconveniente.

Ilustración de llenar el intervalo unitario (eje horizontal) con los primeros n términos usando el teorema de equidistribución con cuatro números irracionales comunes, para n de 0 a 999 (eje vertical). Las 113 bandas distintas para π se deben a la cercanía de su valor al número racional 355/113. Del mismo modo, los 7 grupos distintos se deben a que π es aproximadamente 22/7.
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