En matemáticas , el término " casi todos " significa "todos menos una cantidad insignificante". Más precisamente, sies un conjunto , "casi todos los elementos de"significa" todos los elementos de pero aquellos en un subconjunto insignificante de". El significado de" insignificante "depende del contexto matemático; por ejemplo, puede significar finito , contable o nulo . [Sec 1]
Por el contrario, " casi nada " significa "una cantidad insignificante"; es decir, "casi ningún elemento de"significa" una cantidad insignificante de elementos de ".
Significados en diferentes áreas de las matemáticas
Significado predominante
A lo largo de las matemáticas, "casi todos" se usa a veces para significar "todos (elementos de un conjunto infinito ) pero un número finito ". [1] [2] Este uso también se da en filosofía. [3] De manera similar, "casi todos" puede significar "todos (elementos de un conjunto incontable ) pero contablemente muchos". [seg 2]
Ejemplos:
- Casi todos los números enteros positivos son superiores a 1.000.000.000.000. [4] : 293
- Casi todos los números primos son impares (ya que 2 es la única excepción). [5]
- Casi todos los poliedros son irregulares (ya que solo hay nueve excepciones: los cinco sólidos platónicos y los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot ).
- Si P es un polinomio distinto de cero , entonces P (x) ≠ 0 para casi todo x (si no todo x ).
Significado en la teoría de la medida
Cuando se habla de los reales , a veces "casi todos" puede significar "todos los reales pero un conjunto nulo ". [6] [7] [sec 3] De manera similar, si S es un conjunto de reales, "casi todos los números en S " pueden significar "todos los números en S excepto los de un conjunto nulo". [8] La línea real se puede considerar como un espacio euclidiano unidimensional . En el caso más general de un espacio n -dimensional (donde n es un número entero positivo), estas definiciones se pueden generalizar a "todos los puntos menos los de un conjunto nulo" [sec 4] o "todos los puntos de S pero los de un conjunto nulo "(esta vez, S es un conjunto de puntos en el espacio). [9] Incluso de manera más general, "casi todos" se usa a veces en el sentido de " casi en todas partes " en la teoría de la medida , [10] [11] [sección 5] o en el sentido estrechamente relacionado de " casi con seguridad " en la teoría de la probabilidad. . [11] [sec 6]
Ejemplos:
- En un espacio de medida , como la línea real, los conjuntos contables son nulos. El conjunto de números racionales es contable y, por lo tanto, casi todos los números reales son irracionales. [12]
- Como demostró Georg Cantor en su primer artículo de teoría de conjuntos , el conjunto de números algebraicos también es contable, por lo que casi todos los reales son trascendentales . [13] [sec. 7]
- Casi todos los reales son normales . [14]
- El conjunto de Cantor también es nulo. Por lo tanto, casi todos los reales no son miembros de él, aunque es incontable. [6]
- La derivada de la función de Cantor es 0 para casi todos los números en el intervalo unitario . [15] Se deduce del ejemplo anterior porque la función de Cantor es localmente constante y, por lo tanto, tiene una derivada 0 fuera del conjunto de Cantor.
Significado en teoría de números
En teoría de números , "casi todos los enteros positivos" pueden significar "los enteros positivos en un conjunto cuya densidad natural es 1". Es decir, si A es un conjunto de números enteros positivos, y si la proporción de números enteros positivos en A por debajo de n (de todos los enteros positivos inferiores a n ) tiende a 1 como n tiende a infinito, entonces casi todos los enteros positivos están en A . [16] [17] [sec 8]
De manera más general, sea S un conjunto infinito de enteros positivos, como el conjunto de números pares positivos o el conjunto de primos , si A es un subconjunto de S , y si la proporción de elementos de S por debajo de n que están en A ( fuera de todos los elementos de S por debajo n ) tiende a 1 como n tiende a infinito, entonces se puede decir que casi todos los elementos de S están en a .
Ejemplos:
- La densidad natural de los conjuntos de cofinitos de enteros positivos es 1, por lo que cada uno de ellos contiene casi todos los enteros positivos.
- Casi todos los números enteros positivos son compuestos . [sec 8] [prueba 1]
- Casi todos los números incluso positivos se pueden expresar como la suma de dos números primos. [4] : 489
- Casi todos los números primos están aislados . Además, para cada entero positivo g , casi todos los números primos tienen espacios primos de más de g tanto a su izquierda como a su derecha; es decir, no hay otros números primos entre p - g y p + g . [18]
Significado en teoría de grafos
En teoría de grafos , si A es un conjunto de gráficos ( etiquetados finitos ) , se puede decir que contiene casi todos los gráficos, si la proporción de gráficos con n vértices que están en A tiende a 1 cuando n tiende a infinito. [19] Sin embargo, a veces es más fácil trabajar con probabilidades, [20] por lo que la definición se reformula de la siguiente manera. La proporción de gráficas con n vértices que están en A es igual a la probabilidad de que una gráfica aleatoria con n vértices (elegida con la distribución uniforme ) esté en A , y elegir una gráfica de esta manera tiene el mismo resultado que generar una gráfica volteando una moneda por cada par de vértices para decidir si conectarlos. [21] Por lo tanto, de manera equivalente a la definición anterior, el conjunto A contiene casi todas las gráficas si la probabilidad de que una gráfica generada al aire al aire con n vértices esté en A tiende a 1 cuando n tiende a infinito. [20] [22] A veces, la última definición se modifica para que el gráfico se elija al azar de alguna otra manera , donde no todos los gráficos con n vértices tienen la misma probabilidad, [21] y esas definiciones modificadas no siempre son equivalentes a la principal.
El uso del término "casi todos" en la teoría de grafos no es estándar; el término " asintóticamente casi con seguridad " se utiliza más comúnmente para este concepto. [20]
Ejemplo:
- Casi todos los gráficos son asimétricos . [19]
- Casi todos los gráficos tienen un diámetro de 2. [23]
Significado en topología
En topología [24] y especialmente en la teoría de sistemas dinámicos [25] [26] [27] (incluidas las aplicaciones en economía), [28] "casi todos" los puntos de un espacio topológico pueden significar "todos los puntos del espacio, excepto aquellos en un escaso conjunto ". Algunos usan una definición más limitada, donde un subconjunto solo contiene casi todos los puntos del espacio si contiene algún conjunto denso abierto . [26] [29] [30]
Ejemplo:
- Dada una variedad algebraica irreducible , las propiedades que se mantienen para casi todos los puntos de la variedad son exactamente las propiedades genéricas . [sec 9] Esto se debe al hecho de que en una variedad algebraica irreducible equipada con la topología de Zariski , todos los conjuntos abiertos no vacíos son densos.
Significado en álgebra
En álgebra abstracta y lógica matemática , si U es un ultrafiltro en un conjunto X , "casi todos los elementos de X " a veces significa "los elementos de algún elemento de U ". [31] [32] [33] [34] Para cualquier partición de X en dos conjuntos disjuntos , uno de ellos contendrá necesariamente casi todos los elementos de X . Es posible pensar que los elementos de un filtro en X contienen casi todos los elementos de X , incluso si no es un ultrafiltro. [34]
Pruebas
- ^ Según el teorema de los números primos, el número de primos menores o iguales an es asintóticamente igual an / ln ( n ). Por lo tanto, la proporción de números primos es aproximadamente ln ( n ) / n , que tiende a 0 cuando n tiende a infinito , por lo que la proporción de números compuestos menores o iguales an tiende a 1 cuando n tiende a infinito . [17]
Ver también
- Casi
- Casi en cualquier parte
- Casi seguro
Referencias
Fuentes primarias
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Esto también se puede expresar en la declaración: "Casi todos los números primos son impares".
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