En matemáticas, hay al menos dos resultados conocidos como desigualdad de Weyl .
La desigualdad de Weyl en la teoría de números
En teoría de números , la desigualdad de Weyl , el nombre de Hermann Weyl , establece que si M , N , una y q son números enteros, con una y q primos entre sí , q > 0, y f es una verdadera polinomio de grado k cuyo coeficiente principal c satisface
para algún t mayor o igual a 1, entonces para cualquier número real positivo uno tiene
Esta desigualdad solo será útil cuando
para estimar de otro modo el módulo de la suma exponencial por medio de la desigualdad del triángulo como proporciona un mejor límite.
La desigualdad de Weyl en la teoría de matrices
La desigualdad de Weyl sobre la perturbación
En álgebra lineal, la desigualdad de Weyl es un teorema sobre los cambios en los valores propios de una matriz hermitiana que está perturbada. Puede utilizarse para estimar los valores propios de una matriz hermitiana perturbada.
Dejar y ser n × n matrices hermitianas, con sus respectivos valores propios ordenado de la siguiente manera:
Entonces se mantienen las siguientes desigualdades:
y, de manera más general,
En particular, si es positivo definido y luego se conecta en las desigualdades anteriores conduce a
Tenga en cuenta que estos valores propios se pueden ordenar, porque son reales (como valores propios de matrices hermitianas).
Desigualdad de Weyl entre valores propios y valores singulares
Dejar tener valores singulares y valores propios ordenados de modo que . Luego
Para , con igualdad para . [1]
Aplicaciones
Estimación de perturbaciones del espectro
Suponga que tenemos un límite en R en el sentido de que sabemos que su norma espectral (o, de hecho, cualquier norma de matriz consistente) satisface. Entonces se deduce que todos sus valores propios están limitados en valor absoluto por. Aplicando la desigualdad de Weyl, se deduce que los espectros de M y N son cercanos en el sentido de que [2]
Desigualdad de Weyl para valores singulares
Los valores singulares de una matriz cuadrada son los valores propios positivos de la matriz aumentada hermitiana
Por lo tanto, la desigualdad de perturbación de valores propios de Weyl para matrices hermitianas se extiende naturalmente a la perturbación de valores singulares. [3] Este resultado da el límite de la perturbación en los valores singulares de una matriz. debido a una perturbación aditiva.
Notas
- ^ Toger A. Horn y Charles R. Johnson Temas en análisis matricial. Cambridge, 1ª edición, 1991. p.171
- ^ Weyl, Hermann. "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung)". Mathematische Annalen 71, no. 4 (1912): 441-479.
- ↑ Tao, Terence (13 de enero de 2010). "254A, notas 3a: valores propios y sumas de matrices hermitianas" . Blog de Terence Tao . Consultado el 25 de mayo de 2015 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
Referencias
- Teoría de la matriz , Joel N. Franklin, (Publicaciones de Dover, 1993) ISBN 0-486-41179-6
- "Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen", H. Weyl, Math. Ann., 71 (1912), 441–479