En física , particularmente en la teoría cuántica de campos , la ecuación de Weyl es una ecuación de onda relativista para describir partículas sin masa de espín-1/2 llamadas fermiones de Weyl . La ecuación lleva el nombre de Hermann Weyl . Los fermiones de Weyl son uno de los tres tipos posibles de fermiones elementales, los otros dos son los fermiones de Dirac y Majorana .
Ninguna de las partículas elementales del modelo estándar son fermiones de Weyl. Antes de la confirmación de las oscilaciones de neutrinos , se consideró posible que el neutrino pudiera ser un fermión de Weyl (ahora se espera que sea un fermión de Dirac o Majorana). En la física de la materia condensada , algunos materiales pueden mostrar cuasipartículas que se comportan como fermiones de Weyl, lo que lleva a la noción de semimetales de Weyl .
Matemáticamente, cualquier fermión de Dirac se puede descomponer como dos fermiones de Weyl de quiralidad opuesta acoplados por el término de masa. [1]
Historia
La ecuación de Dirac , fue publicada en 1928 por Paul Dirac , describiendo por primera vez partículas de espín ½ en el marco de la mecánica cuántica relativista . [2] El matemático y físico matemático alemán Hermann Weyl publicó su ecuación en 1929 como una versión simplificada de la ecuación de Dirac. [2] [3] Wolfgang Pauli escribió en 1933 contra la ecuación de Weyl porque violaba la paridad . [4] Sin embargo, tres años antes, Pauli había predicho la existencia de un nuevo fermión elemental , el neutrino , para explicar la desintegración beta , que eventualmente será descrita por la misma ecuación.
En 1937, Conyers Herring propuso la idea de cuasipartículas de fermiones de Weyl en materia condensada. [5]
Los neutrinos finalmente se confirmaron en 1956 como partículas con masas en fuga. [4] El mismo año en que el experimento de Wu , mostró que la paridad fue violada por la interacción débil . Seguido por el descubrimiento experimental de la helicidad fija de neutrinos en 1958. [4] Además, como los experimentos no mostraron signos de una masa de neutrinos, resurgió el interés en la ecuación de Weyl. Por lo tanto, el Modelo Estándar se construyó bajo el supuesto de que los neutrinos eran fermiones de Weyl. [4]
Si bien el físico italiano Bruno Pontecorvo había propuesto en 1957 la posibilidad de masas de neutrinos y oscilaciones de neutrinos , [4] no fue hasta 1998 que Super-Kamiokande finalmente confirmó su existencia. [4] Este descubrimiento confirmó que la ecuación de Weyl no puede describir completamente la propagación de neutrinos. [2]
En 2015, se demostró experimentalmente el primer semimetal de Weyl en arseniuro de tantalio cristalino () con la colaboración de los equipos de MZ Hasan ( Universidad de Princeton ) y H. Ding ( Academia de Ciencias de China ). [5] Independientemente, el mismo año, el equipo de M. Soljačić ( Instituto de Tecnología de Massachusetts ) también observó a Weyl como la excitación en los cristales fotónicos . [5]
Ecuación
La ecuación de Weyl se puede escribir como: [6] [7] [8]
Expandiendo lo anterior e insertando por la velocidad de la luz :
dónde
es un vector cuyos componentes son la matriz identidad 2 × 2 por y las matrices de Pauli para y es la función de onda , uno de los espinores de Weyl . Una forma dual de la ecuación generalmente se escribe como:
dónde
Estas dos son formas distintas de la ecuación de Weyl; sus soluciones también son distintas. Se puede demostrar que las soluciones tienen helicidad para diestros y zurdos y , por tanto, quiralidad . Es conveniente etiquetar estos dos explícitamente; el etiquetado es y
Soluciones de onda plana
Las soluciones de onda plana de la ecuación de Weyl se denominan espinores de Weyl izquierdos y derechos, cada uno con dos componentes. Ambos tienen la forma
- ,
dónde
es un espinor de dos componentes dependiente del momento que satisface
o
- .
Por manipulación directa, se obtiene que
- ,
y concluye que las ecuaciones corresponden a una partícula sin masa . Como resultado, la magnitud del impulso se relaciona directamente con el vector de onda por las relaciones de De Broglie como:
La ecuación se puede escribir en términos de espinores diestros y zurdos como:
Helicidad
Los componentes izquierdo y derecho corresponden a la helicidad. de las partículas, la proyección del operador de momento angular en el momento lineal :
Aquí
Invariancia de Lorentz
Ambas ecuaciones son invariantes de Lorentz bajo la transformación de Lorentz dónde Más precisamente, las ecuaciones se transforman como
dónde es la transposición hermitiana , siempre que el campo de la mano derecha se transforme como
La matriz se relaciona con la transformada de Lorentz mediante la doble cobertura del grupo de Lorentz por el grupo lineal especial dada por
Por tanto, si el diferencial no transformado desaparece en un marco de Lorentz, también se desvanece en otro. similar
siempre que el campo zurdo se transforme como
Ninguna de estas propiedades de transformación es "obvia" en modo alguno, por lo que merecen una derivación cuidadosa. Comience con la forma
para algunos desconocidos estar determinado. La transformada de Lorentz, en coordenadas, es
o equivalente,
Esto lleva a
Para hacer uso del mapa de Weyl
se deben subir y bajar algunos índices. Es más fácil decirlo que hacerlo, ya que invoca la identidad
dónde es la métrica de Minkowski de espacio plano . La identidad anterior se usa a menudo para definir los elementos. Uno toma la transposición:
escribir
Así se recupera la forma original si es decir, Realizando las mismas manipulaciones para la ecuación para zurdos, se concluye que
con [a]
Relación con Majorana
La ecuación de Weyl se interpreta convencionalmente como la descripción de una partícula sin masa. Sin embargo, con una ligera alteración, se puede obtener una versión de dos componentes de la ecuación de Majorana . [9] Esto surge porque el grupo lineal especial es isomorfo al grupo simpléctico El grupo simpléctico se define como el conjunto de todas las matrices complejas de 2 × 2 que satisfacen
dónde
La relación definitoria se puede reescribir como dónde es el conjugado complejo . El campo de la mano derecha, como se señaló anteriormente, se transforma como
y así el campo conjugado complejo se transforma como
Aplicando la relación definitoria, se concluye que
que es exactamente la misma propiedad de covarianza de Lorentz señalada anteriormente. Por lo tanto, la combinación lineal, utilizando un factor de fase complejo arbitrario
se transforma de forma covariante; establecer esto en cero da la ecuación compleja de Majorana de dos componentes . La ecuación de Majorana se escribe convencionalmente como una ecuación real de cuatro componentes, en lugar de una ecuación compleja de dos componentes; lo anterior se puede convertir en cuatro componentes (consulte ese artículo para obtener más detalles). De manera similar, la ecuación de Majorana quiral izquierda (incluido un factor de fase arbitrario) es
Como se señaló anteriormente, las versiones quirales izquierda y derecha están relacionadas mediante una transformación de paridad. El conjugado del complejo de sesgopuede reconocerse como la forma de carga conjugada dePor lo tanto, la ecuación de Majorana se puede leer como una ecuación que conecta un espinor con su forma de carga conjugada. Las dos fases distintas en el término de masa están relacionadas con los dos valores propios distintos del operador de conjugación de carga; consulte la conjugación de cargas y la ecuación de Majorana para obtener más detalles.
Defina un par de operadores, los operadores de Majorana,
dónde es un recordatorio abreviado para tomar el conjugado complejo. Bajo las transformaciones de Lorentz, estos se transforman como
mientras que los espinores de Weyl se transforman como
igual que arriba. Por lo tanto, las combinaciones emparejadas de estos son covariantes de Lorentz, y uno puede tomar
como un par de ecuaciones complejas de Majorana de 2 espinor.
Los productos y son ambos covariantes de Lorentz. El producto es explícitamente
Verificar esto requiere tener en cuenta que y eso El RHS se reduce al operador de Klein-Gordon siempre que, es decir Estos dos operadores de Majorana son, por tanto, "raíces cuadradas" del operador de Klein-Gordon.
Densidades lagrangianas
Las ecuaciones se obtienen a partir de las densidades lagrangianas.
Al tratar el espinor y su conjugado (denotado por) como variables independientes, se obtiene la ecuación de Weyl relevante.
Espinores de Weyl
El término espinor de Weyl también se usa con frecuencia en un contexto más general, como un cierto elemento del álgebra de Clifford . Esto está estrechamente relacionado con las soluciones dadas anteriormente y da una interpretación geométrica natural a los espinores como objetos geométricos que viven en una variedad . Esta configuración general tiene múltiples fortalezas: aclara su interpretación como fermiones en física, y muestra precisamente cómo definir el espín en la Relatividad General , o, de hecho, para cualquier variedad riemanniana o variedad pseudo-riemanniana . Esto se esboza informalmente de la siguiente manera.
La ecuación de Weyl es invariante bajo la acción del grupo de Lorentz . Esto significa que, a medida que se aplican aumentos y rotaciones , la forma de la ecuación en sí no cambia. Sin embargo, la forma del espinor sí cambia. Ignorando por completo el espacio-tiempo , el álgebra de los espinores se describe mediante un álgebra de Clifford (compleja) . Los espinores se transforman bajo la acción del grupo de espín . Esto es completamente análogo a cómo se podría hablar de un vector y cómo se transforma bajo el grupo de rotación , excepto que ahora se ha adaptado al caso de los espinores.
Dada una variedad pseudo-riemanniana arbitraria de dimensión , uno puede considerar su paquete tangente . En cualquier momento dadoel espacio tangente es un espacio vectorial dimensional . Dado este espacio vectorial, se puede construir el álgebra de Clifforden eso. Sison una base de espacio vectorial en, se puede construir un par de espinores de Weyl como [10]
y
Cuando se examinan correctamente a la luz del álgebra de Clifford, estos son naturalmente anti-traslados , es decir, uno tiene queEsto puede ser felizmente interpretado como la realización matemática del principio de exclusión de Pauli , permitiendo así que estas estructuras formales definidas de forma abstracta se interpreten como fermiones . Paraespacio-tiempo dimensional de Minkowski , sólo hay dos espinores posibles, por convención etiquetados como "izquierda" y "derecha", como se describió anteriormente. Se puede encontrar una presentación general más formal de los espinores de Weyl en el artículo sobre el grupo de espín .
La forma abstracta, relativista general de la ecuación de Weyl se puede entender de la siguiente manera: dada una variedad pseudo-Riemanniana uno construye un haz de fibras encima de él, con el grupo de espín como fibra. El grupo de giroes una doble tapa del grupo ortogonal especial , por lo que uno puede identificar el grupo de giro a nivel de fibra con el paquete de marcos sobreCuando se hace esto, la estructura resultante se llama estructura de giro .
Seleccionar un solo punto en la fibra corresponde a seleccionar un marco de coordenadas local para el espacio-tiempo; dos puntos diferentes de la fibra están relacionados por un impulso / rotación (Lorentz), es decir, por un cambio local de coordenadas. Los habitantes naturales de la estructura de espín son los espinores de Weyl, ya que la estructura de espín describe completamente cómo se comportan los espinores bajo (Lorentz) impulsos / rotaciones.
Dado un colector de espín , el análogo de la conexión métrica es la conexión de espín ; esto es efectivamente "lo mismo" que la conexión normal, solo que con índices de giro adjuntos de manera consistente. La derivada covariante se puede definir en términos de la conexión de una manera completamente convencional. Actúa de forma natural sobre el paquete Clifford ; el paquete de Clifford es el espacio en el que viven los espinores. La exploración general de tales estructuras y sus relaciones se denomina geometría de espín .
Casos especiales
Hay tres casos especiales importantes que se pueden construir a partir de espinores de Weyl. Uno es el espino de Dirac , que puede tomarse como un par de espinores de Weyl, uno zurdo y otro diestro. Estos están acoplados de tal manera que representan un campo de fermiones cargado eléctricamente. La carga eléctrica surge porque el campo de Dirac se transforma bajo la acción del grupo de espín complejo. Este grupo tiene la estructura
dónde es el círculo, y se puede identificar con el del electromagnetismo . El producto es solo una notación elegante que denota el producto con puntos opuestos identificado (una doble cubierta).
El espinor de Majorana es de nuevo un par de espinores de Weyl, pero esta vez dispuesto de modo que el espinor de la mano izquierda es el conjugado de carga del espino de la mano derecha. El resultado es un campo con dos grados de libertad menos que el espinor de Dirac. Es incapaz de interactuar con el campo electromagnético, ya que se transforma en escalar bajo la acción delgrupo. Es decir, se transforma en espinor, pero transversalmente, de modo que es invariante bajo la acción del grupo espinal.
El tercer caso especial es el espinor ELKO , construido de manera muy similar al espinor de Majorana, excepto con un signo menos adicional entre el par carga-conjugado. Esto lo vuelve eléctricamente neutro, pero introduce una serie de otras propiedades bastante sorprendentes.
Notas
- ^ Los resultados presentados aquí son idénticos a los de Aste (2010) [9] ecuaciones 52 y 57, aunque la derivación realizada aquí es completamente diferente. La doble cobertura utilizada aquí también es idéntica a la ecuación 48 de Aste y a la versión actual (diciembre de 2020) del artículo de Wikipedia sobre el grupo de Lorentz .
Referencias
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Otras lecturas
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enlaces externos
- http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
- http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html
- http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
- http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf