Fórmulas de Whipple
En la teoría de las funciones especiales , las transformaciones de Whipple para las funciones de Legendre , llamadas así por Francis John Welsh Whipple , surgen de una expresión general, relativa a las funciones de Legendre asociadas . Estas fórmulas se han presentado anteriormente en términos de un punto de vista dirigido a los armónicos esféricos , ahora que vemos las ecuaciones en términos de coordenadas toroidales , surgen simetrías completamente nuevas de las funciones de Legendre.
Estas expresiones son válidas para todos los parámetros y . Cambiando el grado y el orden complejos de manera apropiada, obtenemos fórmulas de Whipple para el intercambio de índices complejos generales de funciones de Legendre generales asociadas de primera y segunda clase. Estos son dados por
Tenga en cuenta que estas fórmulas se comportan bien para todos los valores del grado y orden, excepto para aquellos con valores enteros. Sin embargo, si examinamos estas fórmulas para armónicos toroidales, es decir, donde el grado es medio entero, el orden es entero y el argumento es positivo y mayor que la unidad, se obtiene
Estas son las fórmulas de Whipple para armónicos toroidales. Muestran una propiedad importante de los armónicos toroidales bajo el intercambio de índices (los números enteros asociados con el orden y el grado).