La definición más común de coordenadas toroidales es
Juntos con ). La coordenada de un punto es igual al ángulo y el coordenada es igual al logaritmo natural de la razón de las distancias y a lados opuestos del anillo focal
Los rangos de coordenadas son y y
Superficies coordinadas
La rotación de este
sistema de coordenadas bipolar bidimensional sobre el eje vertical produce el sistema de coordenadas toroidal tridimensional de arriba. Un círculo en el eje vertical se convierte en la
esfera roja , mientras que un círculo en el eje horizontal se convierte en el
toro azul .
Superficies de constante corresponden a esferas de diferentes radios
que todos pasan por el anillo focal pero no son concéntricos. Las superficies de constante son toros no intersectantes de diferentes radios
que rodean el anillo focal. Los centros de la constante esferas se encuentran a lo largo del -eje, mientras que la constante- tori están centrados en el avión.
Transformación inversa
La las coordenadas pueden calcularse a partir de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) como sigue. El ángulo azimutal está dado por la fórmula
El radio cilíndrico del punto P viene dado por
y sus distancias a los focos en el plano definido por es dado por
Interpretación geométrica de las coordenadas sigma y τ de un punto
P . Observado en el plano de ángulo azimutal constante
, las coordenadas toroidales son equivalentes a
las coordenadas bipolares . El ángulo
está formado por los dos focos en este plano y
P , mientras que
es el logaritmo de la razón de distancias a los focos. Los círculos correspondientes de constante
y
se muestran en rojo y azul, respectivamente, y se encuentran en ángulos rectos (caja magenta); son ortogonales.
La coordenada es igual al logaritmo natural de las distancias focales
mientras que es igual al ángulo entre los rayos y los focos, que se puede determinar a partir de la ley de los cosenos
O explícitamente, incluido el signo,
dónde .
Las transformaciones entre coordenadas cilíndricas y toroidales se pueden expresar en notación compleja como
Factores de escala
Los factores de escala para las coordenadas toroidales y son iguales
mientras que el factor de escala azimutal es igual a
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
Operadores diferenciales
El laplaciano está dado por
Para un campo vectorial , el vector laplaciano está dado por
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Separación estándar
La ecuación de Laplace de 3 variables
admite solución mediante separación de variables en coordenadas toroidales. Haciendo la sustitución
Entonces se obtiene una ecuación separable. Una solución particular obtenida por separación de variables es:
donde cada función es una combinación lineal de:
Donde P y Q son funciones de Legendre asociadas de primer y segundo tipo. Estas funciones de Legendre a menudo se denominan armónicos toroidales.
Los armónicos toroidales tienen muchas propiedades interesantes. Si realiza una sustitución de variable luego, por ejemplo, con orden de fuga (la convención es no escribir la orden cuando desaparece) y
y
dónde y son las integrales elípticas completas del primer y segundo tipo respectivamente. El resto de los armónicos toroidales se pueden obtener, por ejemplo, en términos de las integrales elípticas completas, utilizando relaciones de recurrencia para las funciones de Legendre asociadas.
Las aplicaciones clásicas de las coordenadas toroidales están en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace para la cual las coordenadas toroidales permiten una separación de variables o la ecuación de Helmholtz , para la cual las coordenadas toroidales no permiten una separación de variables. Ejemplos típicos serían el potencial eléctrico y el campo eléctrico de un toro conductor, o en el caso degenerado, un anillo de corriente eléctrica (Hulme 1982).
Una separación alternativa
Alternativamente, se puede hacer una sustitución diferente (Andrews 2006)
dónde
Nuevamente, se obtiene una ecuación separable. Una solución particular obtenida por separación de variables es entonces:
donde cada función es una combinación lineal de:
Tenga en cuenta que aunque los armónicos toroidales se utilizan de nuevo para la función T , el argumento es en vez de y el y se intercambian índices. Este método es útil para situaciones en las que las condiciones de contorno son independientes del ángulo esférico, como el anillo cargado, un semiplano infinito o dos planos paralelos. Para las identidades que relacionan los armónicos toroidales con el argumento del coseno hiperbólico con los del argumento de la cotangente hiperbólica, consulte las fórmulas de Whipple .