En ciencias físicas y matemáticas, las funciones de Legendre P λ , Q λ y las funciones de Legendre asociadas Pμ
λ, Qμ
λ, y las funciones de Legendre del segundo tipo , Q n , son todas soluciones de la ecuación diferencial de Legendre. Los polinomios de Legendre y los polinomios de Legendre asociados son también soluciones de la ecuación diferencial en casos especiales, que por ser polinomios tienen un gran número de propiedades, estructura matemática y aplicaciones adicionales. Para estas soluciones polinomiales, consulte los artículos de Wikipedia separados.
Ecuación diferencial de Legendre
La ecuación general de Legendre dice
donde los números λ y μ pueden ser complejos, y se denominan el grado y el orden de la función relevante, respectivamente. Las soluciones polinomiales cuando λ es un número entero (denotado n ), y μ = 0 son los polinomios de Legendre P n ; y cuando λ es un número entero (denotado n ), y μ = m también es un número entero con | m | < n son los polinomios de Legendre asociados. Todos los demás casos de λ y μ se pueden discutir como uno, y las soluciones se escriben Pμ
λ, Qμ
λ. Si μ = 0 , se omite el superíndice y se escribe solo P λ , Q λ . Sin embargo, la solución Q λ cuando λ es un número entero a menudo se analiza por separado como la función de Legendre del segundo tipo, y se denota Q n .
Esta es una ecuación lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares (en 1, −1 y ∞ ). Como todas estas ecuaciones, se puede convertir en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variable, y sus soluciones se pueden expresar mediante funciones hipergeométricas .
Soluciones de la ecuación diferencial
Dado que la ecuación diferencial es lineal y de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes, que pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica ,. Consiendo la función gamma , la primera solución es
y el segundo es,
Estas se conocen generalmente como funciones de Legendre del primer y segundo tipo de grado no entero, con el calificador adicional 'asociado' si μ es distinto de cero. Una relación útil entre las soluciones P y Q es la fórmula de Whipple .
Funciones de Legendre del segundo tipo ( Q n )
La solución no polinomial para el caso especial de grado entero , y , a menudo se analiza por separado. Es dado por
Esta solución es necesariamente singular cuando .
Las funciones de Legendre del segundo tipo también se pueden definir de forma recursiva a través de la fórmula de recursividad de Bonnet
Funciones de Legendre asociadas del segundo tipo
La solución no polinomial para el caso especial de grado entero , y es dado por
Representaciones integrales
Las funciones de Legendre se pueden escribir como integrales de contorno. Por ejemplo,
donde el contorno serpentea alrededor de los puntos 1 y z en la dirección positiva y no se enrolla alrededor de -1 . Para x real , tenemos
Función de Legendre como personajes
La representación integral real de son muy útiles en el estudio del análisis armónico en dónde es el espacio de doble clase lateral de(ver Función esférica zonal ). En realidad, la transformada de Fourier en es dado por
dónde
Ver también
Referencias
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 8" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática, Volumen 1 , Nueva York: Interscience Publisher, Inc.
- Dunster, TM (2010), "Legendre and Related Functions" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Ivanov, AB (2001) [1994], "Función de Legendre" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Snow, Chester (1952) [1942], Funciones hipergeométricas y de Legendre con aplicaciones a ecuaciones integrales de teoría potencial , Serie de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares, No. 19, Washington, DC: Oficina de Imprenta del Gobierno de los Estados Unidos, hdl : 2027 / mdp. 39015011416826 , MR 0048145
- Whittaker, ET ; Watson, GN (1963), Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2
enlaces externos
- Función P de Legendre en el sitio de funciones de Wolfram.
- Función Q de Legendre en el sitio de funciones de Wolfram.
- Función P asociada de Legendre en el sitio de funciones de Wolfram.
- Función Q asociada de Legendre en el sitio de funciones de Wolfram.