En geometría algebraica , la conjetura de Witten es una conjetura sobre números de intersección de clases estables en el espacio de módulos de curvas , introducida por Edward Witten en el artículo Witten ( 1991 ) y generalizada en Witten (1993) . La conjetura original de Witten fue probada por Maxim Kontsevich en el artículo Kontsevich (1992) .
La motivación de Witten para la conjetura fue que dos modelos diferentes de gravedad cuántica bidimensional deberían tener la misma función de partición. La función de partición para uno de estos modelos se puede describir en términos de números de intersección en la pila de módulos de curvas algebraicas , y la función de partición para el otro es el logaritmo de la función τ de la jerarquía KdV . La identificación de estas funciones de partición da la conjetura de Witten de que una determinada función generadora formada a partir de números de intersección debería satisfacer las ecuaciones diferenciales de la jerarquía KdV.
Declaración
Suponga que M g , n es la pila de módulos de superficies compactas de Riemann del género g con n puntos marcados distintos x 1 , ..., x n , y M g , n es su compactación de Deligne-Mumford. Hay n haces de líneas L i sobre M g , n , cuya fibra en un punto de la pila de módulos está dada por el espacio cotangente de una superficie de Riemann en el punto marcado x i . El índice de intersección 〈τ d 1 , ..., τ d n〉 es el índice de intersección de Π c 1 ( L i ) d i en M g , n donde Σ d i = dim M g , n = 3 g - 3 + n , y 0 si no existe tal g , donde c 1 es la primera clase Chern de un paquete de líneas. Función generadora de Witten
codifica todos los índices de intersección como sus coeficientes.
La conjetura de Witten establece que la función de partición Z = exp F es una función τ para la jerarquía KdV , en otras palabras, satisface una cierta serie de ecuaciones diferenciales parciales correspondientes a la basedel álgebra de Virasoro .
Prueba
Kontsevich utilizó una descripción combinatoria de los espacios de módulos en términos de gráficos de cinta para mostrar que
Aquí la suma de la derecha está sobre el conjunto G g , n de los gráficos de cinta X de superficies compactas de Riemann del género g con n puntos marcados. El conjunto de aristas ey puntos de X se denotan por X 0 y X 1 . La función λ se considera una función de los puntos marcados a los reales, y se extiende a los bordes del gráfico de cinta estableciendo λ de un borde igual a la suma de λ en los dos puntos marcados correspondientes a cada lado del borde.
Por técnicas de diagrama de Feynman, esto implica que F ( t 0 , ...) es una expansión asintótica de
como Λ se presta al infinito, donde Λ y Χ son N definidas positivas por N matrices hermitianas, y t i está dado por
y la medida de probabilidad μ en las matrices hermitianas definidas positivas está dada por
donde c Λ es una constante de normalización. Esta medida tiene la propiedad de que
lo que implica que su expansión en términos de diagramas de Feynman es la expresión de F en términos de gráficos de cinta.
De esto dedujo que exp F es una función τ para la jerarquía KdV, lo que demuestra la conjetura de Witten.
Generalizaciones
La conjetura de Witten es un caso especial de una relación más general entre sistemas integrables de PDE hamiltonianas y la geometría de ciertas familias de teorías de campo topológico 2D (axiomatizadas en la forma de las llamadas teorías de campo cohomológico por Kontsevich y Manin), que fue explorado y estudiado sistemáticamente por B. Dubrovin e Y. Zhang, A. Givental, C. Teleman y otros.
La conjetura de Virasoro es una generalización de la conjetura de Witten.
Referencias
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