En álgebra homológica , el teorema de comparación de Zeeman , introducido por Zeeman ( 1957 ), da las condiciones para que un morfismo de secuencias espectrales sea un isomorfismo.
Declaración
Teorema de comparación - SeaSer secuencias espectrales del primer cuadrante de módulos planos sobre un anillo conmutativo yun morfismo entre ellos. Entonces dos de las siguientes declaraciones implican la tercera:
- es un isomorfismo para cada p .
- es un isomorfismo para todo q .
- es un isomorfismo para cada p , q .
Ejemplo ilustrativo
Como ilustración, esbozamos la prueba del teorema de Borel , que dice que el anillo de cohomología de un espacio de clasificación es un anillo polinomial. [1]
En primer lugar, con G como grupo de Lie y con como anillo de coeficientes, tenemos la secuencia espectral de Serre para la fibración . Tenemos:ya que EG es contractible. También tenemos un teorema de Hopf que establece que, un álgebra exterior generada por un número finito de elementos homogéneos.
A continuación, dejamos ser la secuencia espectral cuya segunda página es y cuyas diferencias no triviales en la r -ésima página están dadas pory la regla graduada de Leibniz. Dejar. Dado que la cohomología conmuta con los productos tensoriales mientras trabajamos en un campo, es de nuevo una secuencia espectral tal que . Entonces dejamos
Tenga en cuenta, por definición, f da el isomorfismoUn punto crucial es que f es un " homomorfismo de anillo "; esto se basa en las condiciones técnicas que son "transgresores" (cf. Hatcher para una discusión detallada sobre este asunto). Después de que este punto técnico es atendido, concluimos: como anillo por el teorema de comparación; es decir,
Referencias
- McCleary, John (2001), A User's Guide to Spectral Sequences , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 58 (2a ed.), Cambridge University Press , doi : 10.2277 / 0521567599 , ISBN 978-0-521-56759-6, Señor 1793722
- Roitberg, Joseph; Hilton, Peter (1976), "Sobre el teorema de comparación de Zeeman para la homología de fibraciones cuasi-nilpotentes" (PDF) , The Quarterly Journal of Mathematics , Second Series, 27 (108): 433-444, doi : 10.1093 / qmath / 27.4.433 , ISSN 0033-5606 , MR 0431151
- Zeeman, Erik Christopher (1957), "Una prueba del teorema de comparación para secuencias espectrales", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 53 : 57–62, doi : 10.1017 / S0305004100031984 , MR 0084769