Una curva de Zindler es una curva plana simple cerrada con la propiedad definitoria
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- (L) Todos los acordes , que cortan la longitud de la curva en mitades, tienen la misma longitud.
Los ejemplos más simples de una curva de Zindler son los círculos . El matemático austríaco Konrad Zindler descubrió más ejemplos y dio un método para construirlos. Herman Auerbach fue el primero en utilizar (en 1938) el nombre ahora establecido de curva de Zindler .
Auerbach demostró que una figura limitada por una curva de Zindler y con la mitad de la densidad del agua flotará en el agua en cualquier posición. Esto da una respuesta negativa a la versión bidimensional del problema de Stanislaw Ulam sobre cuerpos flotantes (Problema 19 del Scottish Book ), que pregunta si el disco es la única figura de densidad uniforme que flotará en el agua en cualquier posición (el original problema pregunta si la esfera es el único sólido que tiene esta propiedad en tres dimensiones).
Las curvas de Zindler también están relacionadas con el problema de establecer si es posible determinar la dirección del movimiento de una bicicleta dadas solo las vías traseras y delanteras cerradas. [1]
Definiciones equivalentes
Una definición equivalente de una curva de Zindler es la siguiente:
- (A) Todos los acordes , que cortan el área en mitades, tienen la misma longitud.
Estos acordes son los mismos, que cortan la longitud de la curva en mitades.
Otra definición se basa en los carruseles Zindler de dos sillas. [2] Considere dos curvas suaves en R ² dadas por λ 1 y λ 2 . Suponga que la distancia entre los puntos λ 1 (t) y λ 2 (t) son constantes para cada t ∈ R y que la curva definida por los puntos medios entre λ 1 y λ 2 es tal que su vector tangente en el punto t es paralelo al segmento de λ 1 ( t ) a λ 2 ( t ) para cada t . Si las curvas λ 1 y λ 2 parametrizan la misma curva cerrada suave, entonces esta curva es una curva de Zindler.
Ejemplos de
Considere un parámetro real fijo . Para, cualquiera de las curvas
es una curva de Zindler. [3] Parala curva es incluso convexa . El diagrama muestra curvas para (azul), (verde) y (rojo). Paralas curvas están relacionadas con una curva de ancho constante .
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Prueba de (L) : La derivada de la ecuación paramétrica es
- y
es - periódico . Por lo tanto, para cualquier la siguiente ecuación es válida
que es la mitad de la longitud de toda la curva. Los acordes deseados, que dividen la curva en mitades, están delimitados por los puntos. para cualquier . La longitud de tal acorde es por lo tanto independiente de . ∎
Para los acordes deseados se encuentran con la curva en un punto adicional (ver Figura 3). Por lo tanto, solo para las curvas de muestra son curvas de Zindler.
Generalizaciones
La propiedad que define las curvas de Zindler también se puede generalizar a las cuerdas que cortan el perímetro de la curva en una proporción fija α diferente de 1/2. En este caso, se puede considerar un sistema de acordes (una selección continua de acordes) en lugar de todos los acordes de la curva. Estas curvas se conocen como curvas de α-Zindler, [4] y son curvas de Zindler para α = 1/2. Esta generalización de la curva de Zindler tiene la siguiente propiedad relacionada con el problema flotante: sea γ una curva suave cerrada con un sistema de cuerdas que corta el perímetro en una proporción fija α. Si todas las cuerdas de este sistema de cuerdas están en el interior de la región delimitada por γ, entonces γ es una curva de α-Zindler si y solo si la región delimitada por γ es un sólido de densidad uniforme ρ que flota en cualquier orientación. [4]
Notas
- ^ Bor, Gil; Levi, Mark; Perline, Ron; Tabachnikov, Sergei (2018). "Huellas de neumáticos y evolución de curvas integrables" . Avisos internacionales de investigación en matemáticas . doi : 10.1093 / imrn / rny087 .
- ^ Bracho, J .; Montejano, L .; Oliveros, D. (1 de diciembre de 2004). "Carruseles, curvas de Zindler y el problema del cuerpo flotante". Periodica Mathematica Hungarica . 49 (2): 9-23. CiteSeerX 10.1.1.542.926 . doi : 10.1007 / s10998-004-0519-6 . ISSN 0031-5303 .
- ^ W. Wunderlich: Álgebraische Beispiele ebener und räumlicher Zindler-Kurven . Publ. Matemáticas. Debrecen 24 (1977), 289-297 (S. 291).
- ^ a b Bracho, J .; Montejano, L .; Oliveros, D. (1 de julio de 2001). "Un teorema de clasificación para carruseles de Zindler". Revista de Sistemas Dinámicos y de Control . 7 (3): 367–384. doi : 10.1023 / A: 1013099830164 . ISSN 1079-2724 .
Referencias
- Herman Auerbach: Sur un problème de M. Ulam concernnant l'équilibre des corps flottants (PDF; 796 kB) , Studia Mathematica 7, 1938, págs. 121-142
- KL Mampel: Über Zindlerkurven , Journal für reine und angewandte Mathematik 234, 1969, págs. 12–44
- Konrad Zindler: Über konvexe Gebilde. II. Teil , Monatshefte für Mathematik und Physik 31, 1921, págs. 25–56
- H. Martini, S. Wu: Sobre las curvas de Zindler en Normed Planes , Canadá. Matemáticas. Toro. 55 (2012), 767–773.
- J. Bracho, L. Montejano, D. Oliveros: Carruseles, curvas de Zindler y el problema del cuerpo flotante , Period Math Hung (2004) 49.
- PM Gruber, JM Wills: Convexity and Its Applications , Springer, 1983, ISBN 978-3-0348-5860-1 , pág. 58.
enlaces externos
- http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Fl2mvs/Movies.html - Una página de Franz Wegner que ilustra algunos cuerpos que flotan en cualquier dirección.
- https://www.rose-hulman.edu/~finn/research/bicycle/tracks.html - Una página de David L. Finn que ilustra un par de curvas que no es posible determinar cuál es la vía trasera o la delantera. de una bicicleta.