En teoría de números , el teorema de Zsigmondy , llamado así por Karl Zsigmondy , establece que si a > b > 0 son enteros coprimos , entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo ) que divide a n - b n y no divide a k - b k por ningún entero positivo k < n , con las siguientes excepciones:
- n = 1 , a - b = 1 ; entonces a n - b n = 1 que no tiene divisores primos
- n = 2 , a + b una potencia de dos ; entonces cualquier factor primo impar de a 2 - b 2 = (a + b) (a 1 - b 1 ) debe estar contenido en a 1 - b 1 , que también es par
- n = 6 , a = 2 , b = 1 ; entonces a 6 - b 6 = 63 = 3 2 × 7 = (a 2 - b 2 ) 2 (a 3 - b 3 )
Esto generaliza el teorema de Bang, [1] que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces 2 n - 1 tiene un divisor primo que no divide ningún 2 k - 1 con k < n .
De manera similar, a n + b n tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de 2 3 + 1 3 = 9 .
El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales. [2] [3]
Historia
El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.
Generalizaciones
Dejar ser una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto
es decir, el conjunto de índices tal que cada primo dividiendo también divide algunos para algunos . Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es, y el de la secuencia de Pell es. En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier [4] demostraron que, en general, sies una secuencia de Lucas o una secuencia de Lehmer , entonces(ver OEIS : A285314 , solo hay 13s, a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad .
También se sabe que si es una secuencia de divisibilidad elíptica , entonces su conjunto Zsigmondyes finito. [5] Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en . [6]
Ver también
Referencias
- ^ COMO Bang (1886). "Taltheoretiske Undersøgelser". Tidsskrift para Mathematik . 5. Mathematica Scandinavica. 4 : 70–80. JSTOR 24539988 . Y Bang, AS (1886). "Taltheoretiske Undersøgelser (continuación, ver p. 80)". Tidsskrift para Mathematik . 4 : 130-137. JSTOR 24540006 .
- ^ Montgomery, H. " Divisibilidad de los números de Mersenne " . 17 de septiembre de 2001.
- ^ Artin, Emil (agosto de 1955). "Los órdenes de los grupos lineales". Comm. Pure Appl. Matemáticas. 8 (3): 355–365. doi : 10.1002 / cpa.3160080302 .
- ^ Y. Bilu, G. Hanrot, PM Voutier, Existencia de divisores primitivos de números de Lucas y Lehmer, J. Reine Angew. Matemáticas. 539 (2001), 75-122
- ^ JH Silverman, criterio de Wieferich y laconjetura abc , J. Teoría de números 30 (1988), 226-237
- ^ P. Ingram, JH Silverman, Estimaciones uniformes para divisores primitivos en secuencias de divisibilidad elíptica, teoría de números, análisis y geometría , Springer-Verlag, 2010, 233-263.
- K. Zsigmondy (1892). "Zur Theorie der Potenzreste". Revista Monatshefte für Mathematik . 3 (1): 265–284. doi : 10.1007 / BF01692444 . hdl : 10338.dmlcz / 120560 .
- Th. Schmid (1927). "Karl Zsigmondy" . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 36 : 167-168.
- Moshe Roitman (1997). "Sobre Zsigmondy Primes" . Actas de la American Mathematical Society . 125 (7): 1913-1919. doi : 10.1090 / S0002-9939-97-03981-6 . JSTOR 2162291 .
- Walter Feit (1988). "Sobre grandes primas de Zsigmondy" . Actas de la American Mathematical Society . Sociedad Matemática Estadounidense . 102 (1): 29–36. doi : 10.2307 / 2046025 . JSTOR 2046025 .
- Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y Monografías Matemáticas. 104 . Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 103-104. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Zsigmondy" . MathWorld .