En teoría de números , el teorema de Carmichael , llamado así por el matemático estadounidense R.D. Carmichael , establece que, para cualquier secuencia de Lucas no degenerada del primer tipo U n ( P , Q ) con parámetros relativamente primos P, Q y discriminante positivo, un elemento U n con n ≠ 1, 2, 6 tiene al menos un divisor primo que no divide a ninguno anterior excepto el número 12 de Fibonacci F (12) = U 12 (1, -1) = 144 y su equivalente U 12(-1, -1) = - 144.
En particular, para n mayor que 12, el n- ésimo número de Fibonacci F ( n ) tiene al menos un divisor primo que no divide ningún número de Fibonacci anterior.
Carmichael (1913, Teorema 21) demostró este teorema. Recientemente, Yabuta (2001) [1] dio una prueba simple.
Declaración
Dados dos enteros coprimos P y Q , tales quey PQ ≠ 0 , sea U n ( P , Q ) la secuencia de Lucas del primer tipo definida por
Entonces, para n ≠ 1, 2, 6, U n ( P , Q ) tiene al menos un divisor primo que no divide ningún U m ( P , Q ) con m < n , excepto U 12 (1, -1) = F (12) = 144, U 12 (-1, -1) = - F (12) = - 144. Tal primo p se denomina factor característico o divisor primo primitivo de U n ( P , Q ). De hecho, Carmichael mostró un teorema un poco más fuerte: para n ≠ 1, 2, 6, U n ( P , Q ) tiene al menos un divisor primo primitivo que no divide D [2] excepto U 3 (1, -2) = U 3 (-1, -2) = 3, U 5 (1, -1) = U 5 (-1, -1) = F (5) = 5, U 12 (1, -1) = F (12) = 144, U 12 (-1, -1) = - F (12) = - 144.
Tenga en cuenta que D debe ser> 0, por lo que los casos U 13 (1, 2), U 18 (1, 2) y U 30 (1, 2), etc.no están incluidos, ya que en este caso D = −7 < 0.
Casos de Fibonacci y Pell
Las únicas excepciones en el caso de Fibonacci para n hasta 12 son:
- F (1) = 1 y F (2) = 1, que no tienen divisores primos
- F (6) = 8 cuyo único divisor primo es 2 (que es F (3))
- F (12) = 144 cuyos únicos divisores primos son 2 (que es F (3)) y 3 (que es F (4))
El divisor primo primitivo más pequeño de F ( n ) son
- 1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43, 109441, ... (secuencia A001578 en la OEIS )
El teorema de Carmichael dice que cada número de Fibonacci, aparte de las excepciones enumeradas anteriormente, tiene al menos un divisor primo primitivo.
Si n > 1, entonces el n- ésimo número Pell tiene al menos un divisor primo que no divide ningún número Pell anterior. El divisor primo primitivo más pequeño del n- ésimo número Pell son
Ver también
Referencias
- ^ Yabuta, M (2001). "Una prueba simple del teorema de Carmichael sobre divisores primitivos" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 39 : 439–443 . Consultado el 4 de octubre de 2018 .
- ^ En la definición de un divisor primo primitivo p , a menudo se requiere que p no divida al discriminante.
- Carmichael, RD (1913), "Sobre los factores numéricos de las formas aritméticas α n ± β n ", Annals of Mathematics , 15 (1/4): 30–70, doi : 10.2307 / 1967797 , JSTOR 1967797.