En matemáticas , un morfismo de 2 valores [1] es un homomorfismo que envía un álgebra booleana B al álgebra booleana de dos elementos 2 = {0,1}. Es esencialmente lo mismo que un ultrafiltro en B y, de manera diferente, también lo mismo que un ideal máximo de B. También se han propuesto morfismos valorados en 2 como una herramienta para unificar el lenguaje de la física. [2]
Morfismos de dos valores, ultrafiltros e ideales máximos
Suponga que B es un álgebra booleana.
- Si s : B → 2 es un 2-valorados morfismos, entonces el conjunto de elementos de B que se envían a 1 es un ultrafiltro en B , y el conjunto de elementos de B que se envían a 0 es un máximo ideal de B .
- Si U es un ultrafiltro en B , entonces el complemento de U es un ideal máximo de B , y hay exactamente un morfismo de 2 valores s : B → 2 que envía el ultrafiltro a 1 y el ideal máximo a 0.
- Si M es un ideal máximo de B , entonces el complemento de M es un ultrafiltro en B , y hay exactamente un morfismo de 2 valores s : B → 2 que envía el ultrafiltro a 1 y el ideal máximo a 0.
Física
Si los elementos de B se ven como "proposiciones sobre algún objeto", entonces un morfismo de 2 valores en B se puede interpretar como la representación de un "estado de ese objeto" particular, es decir, aquel en el que las proposiciones de B que se asignan a 1 son verdaderas y las proposiciones asignadas a 0 son falsas. Dado que el morfismo conserva los operadores booleanos ( negación , conjunción , etc.), el conjunto de proposiciones verdaderas no será inconsistente sino que corresponderá a una conjunción máxima particular de proposiciones, que denota el estado (atómico). (Las proposiciones verdaderas forman un ultrafiltro, las proposiciones falsas forman un ideal máximo, como se mencionó anteriormente).
La transición entre dos estados s 1 y s 2 de B , representada por morfismos 2-valorados, a continuación, pueden ser representados por un automorfismo f de B a B , de modo que s 2 o f = es 1 .
Los posibles estados de diferentes objetos definidos de esta manera pueden concebirse como representaciones de eventos potenciales. El conjunto de eventos puede entonces estructurarse de la misma manera que la invariancia de la estructura causal, o las conexiones causales locales a globales o incluso las propiedades formales de las conexiones causales globales.
Los morfismos entre objetos (no triviales) podrían verse como la representación de conexiones causales que conducen de un evento a otro. Por ejemplo, el morfismo f anterior lleva del evento s 1 al evento s 2 . Las secuencias o "caminos" de morfismos para los que no existe un morfismo inverso, podrían entonces interpretarse como la definición de relaciones de precedencia horismóticas o cronológicas. Estas relaciones determinarían entonces un orden temporal , una topología y posiblemente una métrica .
Según, [2] "Se puede encontrar una realización mínima de tal estructura de espacio-tiempo determinada relacionalmente". En este modelo, sin embargo, no hay distinciones explícitas. Esto es equivalente a un modelo donde cada objeto se caracteriza por una sola distinción: (presencia, ausencia) o (existencia, no existencia) de un evento. De esta manera, "las 'flechas' o el 'lenguaje estructural' pueden entonces interpretarse como morfismos que conservan esta distinción única". [2]
Sin embargo, si se considera más de una distinción, el modelo se vuelve mucho más complejo y la interpretación de los estados de distinción como eventos, o de los morfismos como procesos, es mucho menos sencilla.
Referencias
- ^ Fleischer, Isidore (1993), "Una formalización booleana del cálculo de predicados", Álgebras y órdenes (Montreal, PQ, 1991) , NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Matemáticas. Phys. Sci., 389 , Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, págs. 193–198, MR 1233791.
- ^ a b c Heylighen, Francis (1990). Un lenguaje estructural para los fundamentos de la física . Bruselas: Revista Internacional de Sistemas Generales 18, p. 93-112.