La condición del seno de Abbe es una condición que debe cumplir una lente u otro sistema óptico para que produzca imágenes nítidas de objetos fuera del eje y en el eje. Fue formulado por Ernst Abbe en el contexto de los microscopios . [1]
La condición del seno de Abbe dice que
el seno del ángulo del espacio-objeto debe ser proporcional al seno del ángulo del espacio de la imagen
Además, la relación es igual a la ampliación del sistema. En términos matemáticos, esto es:
donde las variables son los ángulos (en relación con el eje óptico) de dos rayos cualesquiera que salen del objeto, y son los ángulos de los mismos rayos donde alcanzan el plano de la imagen (por ejemplo, el plano de la película de una cámara). Por ejemplo, (podría representar un rayo paraxial (es decir, un rayo casi paralelo al eje óptico), ypodría representar un rayo marginal (es decir, un rayo con el ángulo más grande admitido por la apertura del sistema). Se dice que un sistema de imágenes ópticas para el que esto es cierto para todos los rayos obedece a la condición del seno de Abbe.
Ampliación y condición del seno de Abbe
Usando el marco de la óptica de Fourier , podemos explicar fácilmente el significado de la condición del seno de Abbe. Digamos que un objeto en el plano del objeto de un sistema óptico tiene una función de transmitancia de la forma T ( x o , y o ). Podemos expresar esta función de transmitancia en términos de su transformada de Fourier como
Ahora, suponga por simplicidad que el sistema no tiene distorsión de imagen , de modo que las coordenadas del plano de la imagen están relacionadas linealmente con las coordenadas del plano del objeto a través de la relación
donde M es la ampliación del sistema . La transmitancia del plano del objeto anterior ahora se puede volver a escribir en una forma ligeramente modificada:
donde los diversos términos simplemente se han multiplicado y dividido en el exponente por M , la ampliación del sistema. Ahora, las ecuaciones anteriores pueden sustituirse por las coordenadas del plano de la imagen en términos de coordenadas del plano del objeto, para obtener,
En este punto otra transformación de coordenadas se puede proponer ( i . E ., El Abbe sine condición) en relación el plano del objeto número de onda del espectro con el espectro de la imagen del avión número de onda como
para obtener la ecuación final para el campo del plano de la imagen en términos de coordenadas del plano de la imagen y números de onda del plano de la imagen como:
De la óptica de Fourier , se sabe que los números de onda se pueden expresar en términos del sistema de coordenadas esféricas como
Si se considera un componente espectral para el cual , entonces la transformación de coordenadas entre el objeto y los números de onda del plano de la imagen toma la forma
Esta es otra forma de escribir la condición del seno de Abbe, que simplemente refleja el principio de incertidumbre clásico para los pares de transformadas de Fourier, es decir, que a medida que la extensión espacial de cualquier función se expande (por el factor de aumento, M ), la extensión espectral se contrae de la misma manera. factor, M , de modo que el producto espacio-ancho de banda permanece constante.
Ver también
- Invariante de Lagrange
- Invariante de Smith-Helmholtz
- Condición de Herschel
Referencias
- ^ Abbe, Ernst (junio de 1881). "Sobre la estimación de la apertura en el microscopio" . Revista de la Royal Microscopical Society . 1 (3): 388–423. doi : 10.1111 / j.1365-2818.1881.tb05909.x .