Invariante de Smith-Helmholtz

En óptica, el invariante de Smith-Helmholtz es una cantidad invariante para haces paraxiales que se propagan a través de un sistema óptico. Dado un objeto en altura y un rayo axial que pasa por la misma posición axial que el objeto con ángulo , el invariante se define por ^[1]^[2]^[3] ${\ Displaystyle {\ bar {y}}}$ ${\ Displaystyle u}$

donde está el índice de refracción . Para un sistema óptico dado y una elección específica de la altura del objeto y el rayo axial, esta cantidad es invariante bajo refracción . Por lo tanto, en el punto de imagen conjugado con altura y rayo axial refractado con ángulo en medio con índice de refracción tenemos . Normalmente, los dos puntos de mayor interés son el punto del objeto y el punto de la imagen final. ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle u_ {i}}$ ${\ Displaystyle n_ {i}}$ ${\ Displaystyle H = n_ {i} {\ bar {y}} _ {i} u_ {i}}$

El invariante de Smith-Helmholtz tiene una estrecha conexión con la condición del seno de Abbe . La versión paraxial de la condición de seno se satisface si la relación es constante, donde y son el ángulo del rayo axial y el índice de refracción en el espacio del objeto y y son las cantidades correspondientes en el espacio de la imagen. El invariante de Smith-Helmholtz implica que el aumento lateral es constante si y solo si se satisface la condición del seno. ^[4] ${\ Displaystyle nu / n'u '}$ ${\ Displaystyle u}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle u '}$ ${\ Displaystyle n '}$ ${\ Displaystyle y / y '}$

El invariante de Smith-Helmholtz también relaciona el aumento lateral y angular del sistema óptico, que son y respectivamente. La aplicación de la invariante al objeto y los puntos de la imagen implica que el producto de estos aumentos está dado por ^[5] ${\ Displaystyle y '/ y}$ ${\ Displaystyle u '/ u}$

El invariante de Smith-Helmholtz está estrechamente relacionado con el invariante de Lagrange y el invariante óptico . El Smith-Helmholtz es el invariante óptico restringido para conjugar planos de imagen.