En matemáticas , el mapa de Abel-Jacobi es una construcción de geometría algebraica que relaciona una curva algebraica con su variedad jacobiana . En la geometría de Riemann , es una construcción más general que asigna una variedad a su toro de Jacobi. El nombre deriva del teorema de Abel y Jacobi de que dos divisores efectivos son linealmente equivalentes si y solo si son indistinguibles bajo el mapa de Abel-Jacobi.
Construcción del mapa
En geometría algebraica compleja , el jacobiano de una curva C se construye usando integración de trayectoria. Es decir, supongamos que C tiene el género g , lo que significa topológicamente que
Geométricamente, este grupo de homología consiste en (clases de homología de) ciclos en C , o en otras palabras, bucles cerrados. Por lo tanto, podemos elegir bucles de 2 ggenerándolo. Por otro lado, otra forma más algebro-geométrica de decir que el género de C es g es que
donde K es el paquete canónica en C .
Por definición, este es el espacio de formas diferenciales holomórficas definidas globalmente en C , por lo que podemos elegir g formas linealmente independientes. Dadas formas y bucles cerrados podemos integrar, y definimos 2 g vectores
De las relaciones bilineales de Riemann se deduce que elgenerar una celosía no degenerada (es decir, son una base real para ), y el jacobiano se define por
El mapa de Abel-Jacobi se define de la siguiente manera. Elegimos algún punto base y, casi imitando la definición de definir el mapa
Aunque esto aparentemente depende de un camino desde a dos de estos caminos definen un bucle cerrado en y, por tanto, un elemento de por lo que la integración sobre él da un elemento de Así, la diferencia se borra en el pasaje al cociente por . Cambiar el punto base cambia el mapa, pero solo mediante una traducción del toro.
El mapa de Abel-Jacobi de una variedad riemanniana
Dejar ser un colector compacto liso . Dejarser su grupo fundamental. Dejarsea su mapa de abelianización . Dejar ser el subgrupo de torsión de . Dejarsea el cociente por torsión. Si es una superficie, es no canónicamente isomórfico a , dónde es el género; más generalmente, es no canónicamente isomórfico a , dónde es el primer número de Betti. Dejar sea el homomorfismo compuesto.
Definición. La cubierta del colector correspondiente al subgrupo se llama cobertura abeliana libre universal (o máxima).
Ahora suponga que M tiene una métrica de Riemann . Dejar ser el espacio de formas armónicas 1 en , con doble canónicamente identificado con . Integrando una forma 1 armónica integral a lo largo de trayectorias desde un punto base, obtenemos un mapa del círculo .
Del mismo modo, para definir un mapa sin elegir una base para la cohomología, argumentamos de la siguiente manera. Dejarser un punto en la cubierta universal de . Por lo tanto está representado por un punto de junto con un camino de lo. Integrando a lo largo del camino, obtenemos una forma lineal en :
Esto da lugar a un mapa
que, además, desciende a un mapa
dónde es la funda abeliana gratuita universal.
Definición. La variedad Jacobi (Jacobi torus) de es el toro
Definición. El mapa de Abel – Jacobi
se obtiene del mapa anterior pasando a cocientes.
El mapa de Abel-Jacobi es único hasta las traducciones del toro de Jacobi. El mapa tiene aplicaciones en geometría sistólica . El mapa de Abel-Jacobi de una variedad de Riemann se muestra en las asintóticas en tiempo grande del núcleo de calor en una variedad periódica ( Kotani y Sunada (2000) y Sunada (2012) ).
De la misma manera, se puede definir un análogo de la teoría de grafos del mapa de Abel-Jacobi como un mapa lineal por partes de un grafo finito a un toro plano (o un grafo de Cayley asociado con un grupo abeliano finito), que está estrechamente relacionado a comportamientos asintóticos de paseos aleatorios sobre redes cristalinas, y se puede utilizar para el diseño de estructuras cristalinas.
Teorema de Abel-Jacobi
Abel demostró el siguiente teorema: Suponga que
es un divisor (es decir, una combinación lineal de enteros formales de puntos de C ). Podemos definir
y por lo tanto hablar del valor del mapa de Abel-Jacobi en divisores. El teorema es entonces que si D y E son dos divisores efectivos , lo que significa que el son todos enteros positivos, entonces
- si y solo si es linealmente equivalente a Esto implica que el mapa de Abel-Jacobi induce un mapa inyectivo (de grupos abelianos) desde el espacio de clases divisorias de grado cero al jacobiano.
Jacobi demostró que este mapa también es sobreyectivo, por lo que los dos grupos son naturalmente isomórficos.
El teorema de Abel-Jacobi implica que la variedad albanesa de una curva compleja compacta (dual de períodos de módulo de formas 1 holomórficas) es isomorfa a su variedad jacobiana (divisores de equivalencia de módulo de grado 0). Para las variedades proyectivas compactas de dimensiones superiores, la variedad Albanese y la variedad Picard son duales, pero no es necesario que sean isomórficas.
Referencias
- E. Arbarello; M. Cornalba; P. Griffiths; J. Harris (1985). "1.3, Teorema de Abel ". Geometría de curvas algebraicas, vol. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90997-4.
- Kotani, Motoko; Sunada, Toshikazu (2000), "Mapas albaneses y una asintótica de tiempo largo fuera de la diagonal para el núcleo de calor", Comm. Matemáticas. Phys. , 209 : 633–670, Bibcode : 2000CMaPh.209..633K , doi : 10.1007 / s002200050033
- Sunada, Toshikazu (2012), "Conferencia sobre cristalografía topológica", Japón. J. Math. , 7 : 1–39, doi : 10.1007 / s11537-012-1144-4