Variedad albanesa

En matemáticas , la variedad albanesa , llamada así por Giacomo Albanese , es una generalización de la variedad jacobiana de una curva. ${\ Displaystyle A (V)}$

La variedad albanesa es la variedad abeliana generada por una variedad que da un punto de a la identidad de . En otras palabras, existe un morfismo de la variedad a su variedad albanesa , de manera que cualquier morfismo de una variedad abeliana (llevando el punto dado a la identidad) se determina de manera única . Para variedades complejas, André Blanchard ( 1956 ) definió la variedad albanesa de manera similar, como un morfismo de un toro de tal manera que cualquier morfismo de un toro se factoriza únicamente a través de este mapa. (Es una variedad analítica en este caso; no necesita ser algebraica). ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$

Para las variedades compactas de Kähler , la dimensión de la variedad albanesa es el número de Hodge , la dimensión del espacio de diferenciales del primer tipo sobre , que para las superficies se denomina irregularidad de una superficie . En términos de formas diferenciales , cualquier forma 1 holomórfica en es un retroceso de la forma 1 invariante en la traducción en la variedad albanesa, que proviene del espacio cotangente holomórfico de en su elemento de identidad. Al igual que en el caso de la curva, mediante la elección de un punto base en (desde el cual 'integrar'), un morfismo albanés ${\ Displaystyle h ^ {1,0}}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Alb} (V)}$ ${\ Displaystyle V}$

se define, a lo largo del cual las formas 1 retroceden. Este morfismo es único hasta una traducción de la variedad albanesa. Para las variedades sobre campos de carácter positivo, la dimensión de la variedad albanesa puede ser menor que los números de Hodge y (que no tienen por qué ser iguales). Para ver el primero, observe que la variedad albanesa es dual a la variedad Picard , cuyo espacio tangente en la identidad está dado por Eso es un resultado de Jun-ichi Igusa en la bibliografía. ${\ Displaystyle h ^ {1,0}}$ ${\ Displaystyle h ^ {0,1}}$ ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, O_ {X}).}$ ${\ Displaystyle \ dim \ operatorname {Alb} (X) \ leq h ^ {1,0}}$