elemento integrante
En álgebra conmutativa , se dice que un elemento b de un anillo conmutativo B es integral sobre A , un subanillo de B , si hay n ≥ 1 y un j en A tal que
Es decir, b es raíz de un polinomio mónico sobre A. [1] El conjunto de elementos de B que son integrales sobre A se denomina clausura integral de A en B . Es un subanillo de B que contiene A. Si todo elemento de B es integral sobre A , entonces decimos que B es integral sobre A , o de manera equivalente, B es una extensión integral de A.
Si A , B son campos , entonces las nociones de "integral sobre" y de "extensión integral" son precisamente " sobre algebraico " y " extensiones algebraicas " en la teoría de campos (dado que la raíz de cualquier polinomio es la raíz de un polinomio mónico ).
El caso de mayor interés en teoría de números es el de los números complejos integrales sobre Z (por ejemplo, o ); en este contexto, los elementos integrales suelen llamarse números enteros algebraicos . Los enteros algebraicos en un campo k de extensión finita de los racionales Q forman un subanillo de k , llamado anillo de enteros de k , un objeto central de estudio en la teoría algebraica de números .
En este artículo se entenderá que el término anillo significa anillo conmutativo con identidad multiplicativa.
Hay muchos ejemplos de cierre integral que se pueden encontrar en la teoría algebraica de números, ya que es fundamental para definir el anillo de números enteros para una extensión de campo algebraico (o ).
