Retracción (topología)
En topología , una rama de las matemáticas , una retracción es un mapeo continuo de un espacio topológico a un subespacio que preserva la posición de todos los puntos en ese subespacio. [1] El subespacio se llama retracción del espacio original. Una retracción de deformación es un mapeo que captura la idea de reducir continuamente un espacio a un subespacio.
Una retracción de vecindad absoluta ( ANR ) es un tipo de espacio topológico que se comporta particularmente bien. Por ejemplo, toda variedad topológica es una ANR. Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un espacio topológico muy simple, un complejo CW .
es una retracción si la restricción de r a A es el mapa de identidad en A ; es decir , para todo a en A. De manera equivalente, denotando por
es decir, la composición de r con la inclusión es la identidad de A. Tenga en cuenta que, por definición, una retracción asigna X a A . Un subespacio A se llama retracción de X si tal retracción existe. Por ejemplo, cualquier espacio no vacío se retrae a un punto de la manera obvia (el mapa constante produce una retracción). Si X es Hausdorff , entonces A debe ser un subconjunto cerrado de X.
Si es una retracción, entonces la composición ι∘ r es un mapa continuo idempotente de X a X. Por el contrario, dado cualquier mapa continuo idempotente , obtenemos una retracción sobre la imagen de s restringiendo el codominio .
En otras palabras, una retracción de deformación es una homotopía entre una retracción y el mapa de identidad en X . El subespacio A se llama retracción de deformación de X . Una retracción por deformación es un caso especial de equivalencia de homotopía .