Codominio

Una función

f

de

X

a

Y

. El óvalo azul

Y

es el codominio de

f

. El óvalo amarillo dentro de

Y

es la imagen de

f

.

En matemáticas , el codominio o conjunto de destino de una función es el conjunto en el que toda la salida de la función está obligada a caer. Es el conjunto $Y$ en la notación $f : X \to Y$ . El término rango a veces se usa de manera ambigua para referirse al codominio o la imagen de una función.

Un codominio es parte de una función $f$ si $f$ se define como un triple $(X, Y, G)$ donde $X$ se llama dominio de $f$ , $Y$ su codominio y $G$ su gráfica . ^[1] El conjunto de todos los elementos de la forma $f (x)$ , donde $x$ varía sobre los elementos del dominio $X$ , se llama imagen de $f$ . La imagen de una función es un subconjunto de su codominio, por lo que es posible que no coincida con él. Es decir, una función que no es sobreyectiva tiene elementos $y$ en su codominio para los cuales la ecuación $f (x) = y$ no tiene solución.

Un codominio no es parte de una función $f$ si $f$ se define solo como un gráfico. ^[2]^[3] Por ejemplo, en la teoría de conjuntos es deseable permitir que el dominio de una función sea una clase $X$ adecuada , en cuyo caso formalmente no existe un triple $(X, Y, G)$ . Con tal funciones de definición no tienen un codomain, aunque algunos autores todavía lo utilizan informalmente después de la introducción de una función en la forma $f : X \to Y$ . ^[4]

Ejemplos [ editar ]

Para una función

{\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ flecha derecha \ mathbb {R}}

definido por

{\ Displaystyle f \ colon \, x \ mapsto x ^ {2},}

o equivalente

{\ Displaystyle f (x) \ = \ x ^ {2},}

el codominio de $f$ es , pero $f$ no se asigna a ningún número negativo. Por tanto, la imagen de $f$ es el conjunto ; es decir, el intervalo $[0, \infty)$ . ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$

Una función alternativa $g$ se define así:

{\ Displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ flecha derecha \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}

{\ Displaystyle g \ colon \, x \ mapsto x ^ {2}.}

Mientras que $f$ y $g$ asignar un dadas $x$ al mismo número, no son, en este punto de vista, la misma función porque tienen diferentes codomains. Se puede definir una tercera función $h$ para demostrar por qué:

{\ Displaystyle h \ colon \, x \ mapsto {\ sqrt {x}}.}

El dominio de $h$ no puede ser, pero puede definirse como : ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$

{\ Displaystyle h \ colon \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R}.}

Las composiciones se indican

h\circ f,

h\circ g.

En la inspección, $h \circ f$ no es útil. Es cierto, a menos que se defina lo contrario, que la imagen de $f$ no se conoce; solo se sabe que es un subconjunto de . Por esta razón, es posible que $h$ , cuando se componga con $f$ , reciba un argumento para el que no se define ninguna salida; los números negativos no son elementos del dominio de $h$ , que es la función raíz cuadrada . $\textstyle \mathbb {R}$

Por lo tanto, la composición de funciones es una noción útil solo cuando el codominio de la función en el lado derecho de una composición (no su imagen , que es una consecuencia de la función y podría ser desconocida a nivel de la composición) es un subconjunto del dominio de la función en el lado izquierdo.

El codominio afecta si una función es una sobreyección , en el sentido de que la función es sobreyectiva si y solo si su codominio es igual a su imagen. En el ejemplo, $g$ es una sobreyección mientras que $f$ no lo es. El codominio no afecta si una función es una inyección .

Un segundo ejemplo de la diferencia entre codominio e imagen lo demuestran las transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales , en particular, todas las transformaciones lineales de a sí mismo, que pueden ser representadas por las matrices $2 \times 2$ con coeficientes reales. Cada matriz representa un mapa con el dominio y el codominio . Sin embargo, la imagen es incierta. Algunas transformaciones pueden tener una imagen igual a todo el codominio (en este caso, las matrices con rango $2$ ) pero muchas no, en su lugar, se mapean en un subespacio más pequeño (las matrices con rango $1$ o $0$ ). Tomemos, por ejemplo, la matriz $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $T$ dado por

T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}

que representa una transformación lineal que asigna el punto $(x, y)$ a $(x, x)$ . El punto $(2, 3)$ no está en la imagen de $T$ , pero todavía está en el codominio ya que las transformaciones lineales de a son de relevancia explícita. Al igual que todas las matrices $2 \times 2$ , $T$ representa un miembro de ese conjunto. Examinar las diferencias entre la imagen y el codominio a menudo puede ser útil para descubrir propiedades de la función en cuestión. Por ejemplo, se puede concluir que $T$ no tiene rango completo ya que su imagen es más pequeña que todo el codominio. $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$

Ver también [ editar ]

Biyección

Notas [ editar ]

^ Bourbaki 1970 , p. 76
^ Bourbaki 1970 , p. 77
^ Forster 2003 , págs. 10-11
^ Eccles 1997 , p. 91 ( cita 1 , cita 2 ); Mac Lane 1998 , pág. 8 ; Mac Lane, en Scott y Jech 1967 , pág. 232 ; Sharma 2004 , pág. 91 ; Stewart y Tall 1977 , pág. 89

Referencias [ editar ]

Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles . Éléments de mathématique. Saltador. ISBN 9783540340348.
Eccles, Peter J. (1997), Introducción al razonamiento matemático: números, conjuntos y funciones , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
Forster, Thomas (2003), Lógica, inducción y conjuntos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja (2a ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
Scott, Dana S .; Jech, Thomas J. (1967), Teoría de conjuntos axiomáticos , Simposio en matemáticas puras, Sociedad matemática estadounidense, ISBN 978-0-8218-0245-8
Sharma, AK (2004), Introducción a la teoría de conjuntos , Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), Los fundamentos de las matemáticas , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4

[1] Bourbaki 1970 , p. 76

[2] Bourbaki 1970 , p. 77

[3] Forster 2003 , págs. 10-11

[4] Eccles 1997 , p. 91 ( cita 1 , cita 2 ); Mac Lane 1998 , pág. 8 ; Mac Lane, en Scott y Jech 1967 , pág. 232 ; Sharma 2004 , pág. 91 ; Stewart y Tall 1977 , pág. 89

[1]

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