Complejo celular abstracto
En matemáticas, un complejo de celdas abstracto es un conjunto abstracto con topología de Alexandrov en el que se asigna a cada punto un número entero no negativo llamado dimensión . El complejo se llama "abstracto" ya que sus puntos, que se denominan "células", no son subconjuntos de un espacio de Hausdorff como es el caso en el complejo Euclidiano y CW . Los complejos de células abstractas juegan un papel importante en el análisis de imágenes y los gráficos por computadora .
La idea de complejos celulares abstractos [1] (también denominados complejos celulares abstractos) se relaciona con J. Listing (1862) [2] y E. Steinitz (1908). [3] También AW Tucker (1933), [4] K. Reidemeister (1938), [5] PS Aleksandrov (1956) [6] así como R. Klette y A. Rosenfeld (2004) [7] han descrito resúmenes complejos celulares. E. Steinitz ha definido un complejo celular abstracto como donde E es un conjunto abstracto , B es una relación binaria asimétrica, irreflexiva y transitiva llamada relación de delimitaciónentre los elementos de E y dim hay una función que asigna un número entero no negativo a cada elemento de E de tal manera que si , entonces . V. Kovalevsky (1989) [8] describió complejos celulares abstractos para 3D y dimensiones superiores. También sugirió numerosas aplicaciones al análisis de imágenes. En su libro (2008) [9] ha sugerido una teoría axiomática de espacios topológicos localmente finitos que son generalizaciones de complejos celulares abstractos. El libro contiene, entre otras, nuevas definiciones de bolas y esferas topológicas independientes de la métrica , una nueva definición de variedades combinatorias. y muchos algoritmos útiles para el análisis de imágenes.
La topología de los complejos de celdas abstractas se basa en un orden parcial en el conjunto de sus puntos o celdas.
La noción de complejo celular abstracto definida por E. Steinitz está relacionada con la noción de complejo simplicial abstracto y se diferencia de un complejo simplicial por la propiedad de que sus elementos no son simples : un elemento n- dimensional de un complejo abstracto no debe tener n+1 lados de dimensión cero, y no cada subconjunto del conjunto de lados de dimensión cero de una celda es una celda. Esto es importante ya que la noción de un complejo celular abstracto se puede aplicar a las cuadrículas bidimensionales y tridimensionales utilizadas en el procesamiento de imágenes, lo que no es cierto para los complejos simpliciales. Un complejo no simplicial es una generalización que hace posible la introducción de coordenadas de celda: hay complejos no simpliciales que son productos cartesianos de tales complejos unidimensionales "lineales" donde cada celda de dimensión cero, además de dos de ellos, limita exactamente dos celdas unidimensionales. Solo tales complejos cartesianos hacen posible introducir coordenadas tales que cada celda tenga un conjunto de coordenadas y dos celdas diferentes tengan diferentes conjuntos de coordenadas.El conjunto de coordenadas puede servir como nombre de cada celda del complejo, lo cual es importante para procesar complejos.
Los complejos abstractos permiten la introducción de la topología clásica (topología de Alexandrov) en las cuadrículas que son la base del procesamiento de imágenes digitales. Esta posibilidad define la gran ventaja de los complejos celulares abstractos: es posible definir exactamente las nociones de conectividad y del límite de subconjuntos. La definición de dimensión de células y de complejos es en el caso general diferente de la de los complejos simpliciales (ver más abajo).
La noción de un complejo celular abstracto difiere esencialmente de la de un complejo CW porque un complejo celular abstracto no es un espacio de Hausdorff . Esto es importante desde el punto de vista de la informática, ya que es imposible representar explícitamente un espacio de Hausdorff no discreto en una computadora. (La vecindad de cada punto en tal espacio debe tener infinitos puntos).
