La topología digital se ocupa de las propiedades y características de imágenes digitales bidimensionales (2D) o tridimensionales (3D) que corresponden a propiedades topológicas (por ejemplo, conectividad ) o características topológicas (por ejemplo, límites ) de objetos.
Los conceptos y resultados de la topología digital se utilizan para especificar y justificar algoritmos de análisis de imágenes importantes (de bajo nivel) , incluidos algoritmos para adelgazamiento , rastreo de bordes o superficies, recuento de componentes o túneles o relleno de regiones.
Historia
La topología digital fue estudiada por primera vez a fines de la década de 1960 por el investigador de análisis de imágenes por computadora Azriel Rosenfeld (1931-2004), cuyas publicaciones sobre el tema jugaron un papel importante en el establecimiento y desarrollo del campo. El término "topología digital" fue inventado por Rosenfeld, quien lo utilizó en una publicación de 1973 por primera vez.
En el libro de Pavel Alexandrov y Heinz Hopf , Topologie I (1935) , apareció un trabajo relacionado llamado topología de celdas de cuadrícula , que podría considerarse como un vínculo con la topología combinatoria clásica . Rosenfeld y col. propuso conectividad digital como 4-conectividad y 8-conectividad en dos dimensiones, así como 6-conectividad y 26-conectividad en tres dimensiones. El método de etiquetado para inferir un componente conectado se estudió en la década de 1970. Theodosios Pavlidis (1982) sugirió el uso de algoritmos de teoría de grafos como el método de búsqueda en profundidad para encontrar componentes conectados. Vladimir Kovalevsky (1989) extendió la topología de celdas de cuadrícula 2D Alexandrov-Hopf a tres dimensiones o más. También propuso (2008) una teoría axiomática más general de espacios topológicos localmente finitos y complejos celulares abstractos sugeridos anteriormente por Ernst Steinitz (1908). Es la topología de Alexandrov . El libro de 2008 contiene nuevas definiciones de bolas y esferas topológicas independientes de una métrica y numerosas aplicaciones para el análisis de imágenes digitales.
A principios de la década de 1980, se estudiaron las superficies digitales . David Morgenthaler y Rosenfeld (1981) dieron una definición matemática de superficies en un espacio digital tridimensional. Esta definición contiene un total de nueve tipos de superficies digitales. El colector digital se estudió en la década de 1990. Chen y Zhang propusieron intuitivamente una definición recursiva de la variedad k digital en 1993. Se encontraron muchas aplicaciones en el procesamiento de imágenes y la visión por computadora.
Resultados basicos
Un resultado básico (temprano) en la topología digitales en 2D dice que las imágenes binarias requieren el uso alternativo de 4 u 8-adyacencia o " conectividad pixel " (por "objeto" o "no-objeto" píxeles ) para asegurar la dualidad topológica básica de separación y conexión. Este uso alternativo corresponde a conjuntos abiertos o cerrados en la topología de celdas de cuadrícula 2D , y el resultado se generaliza a 3D: el uso alternativo de 6 o 26 adyacencia corresponde a conjuntos abiertos o cerrados en la topología de celdas de cuadrícula 3D . La topología de celdas de cuadrícula también se aplica a imágenes 2D o 3D multinivel (p. Ej., Color), por ejemplo basándose en un orden total de posibles valores de imagen y aplicando una 'regla de etiqueta máxima' (ver el libro de Klette y Rosenfeld, 2004).
La topología digital está muy relacionada con la topología combinatoria . Las principales diferencias entre ellos son: (1) la topología digital estudia principalmente los objetos digitales que están formados por celdas de cuadrícula, [se necesita aclaración ] y (2) la topología digital también se ocupa de variedades distintas de Jordan.
Una variedad combinatoria es una especie de variedad que es una discretización de una variedad. Por lo general, significa una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales . Un colector digital es un tipo especial de colector combinatorio que se define en el espacio digital, es decir, el espacio de celda de cuadrícula.
Una forma digital del teorema de Gauss-Bonnet es: Sea M una variedad bidimensional digital cerrada en adyacencia directa (es decir, una superficie (6,26) en 3D). La fórmula del género es
- ,
dónde indica el conjunto de puntos de superficie, cada uno de los cuales tiene i puntos adyacentes en la superficie (Chen y Rong, ICPR 2008). Si M simplemente está conectado, es decir,, luego . (Véase también la característica de Euler ).
Ver también
Referencias
- Herman, Gabor T. (1998). Geometría de espacios digitales . Análisis Armónico Numérico y Aplicado. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 978-0-8176-3897-9. Señor 1711168 .
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- Morgenthaler, David G .; Rosenfeld, Azriel (1981). "Superficies en imágenes digitales tridimensionales" . Información y control . 51 (3): 227–247. doi : 10.1016 / S0019-9958 (81) 90290-4 . Señor 0686842 .
- Pavlidis, Theo (1982). Algoritmos para procesamiento de imágenes y gráficos . Apuntes de clase en matemáticas. 877 . Rockville, MD: Computer Science Press. ISBN 0-914894-65-X. Señor 0643798 .
- Kovalevsky, Vladimir (2008). Geometría de espacios localmente finitos . Berlín: Editorial Dr. Baerbel Kovalevski. ISBN 978-3-9812252-0-4.