Clase elemental abstracta

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En la teoría de modelos , una disciplina dentro de la lógica matemática , una clase elemental abstracta , o AEC para abreviar, es una clase de modelos con un orden parcial similar a la relación de una subestructura elemental de una clase elemental en la teoría de modelos de primer orden . Fueron presentados por Saharon Shelah . ^[1]

${\displaystyle \langle K,\prec _{K}\rangle }$, para una clase de estructuras en algún lenguaje , es un AEC si tiene las siguientes propiedades:${\ estilo de visualización K}$${\ estilo de visualización L = L (K)}$

Tenga en cuenta que, por lo general, no nos preocupamos por los modelos de tamaño inferior al número de Löwenheim-Skolem y, a menudo, asumimos que no hay ninguno (adoptaremos esta convención en este artículo). Esto está justificado ya que siempre podemos eliminar todos esos modelos de un AEC sin influir en su estructura por encima del número de Löwenheim-Skolem.

A -embedding es un mapa para tal que y es un isomorfismo de sobre . Si está claro por el contexto, lo omitimos.${\ estilo de visualización K}$${\ estilo de visualización f: M \ flecha derecha N}$${\ estilo de visualización M, N \ en K}$${\displaystyle f[M]\prec_{K}N}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización f [M]}$${\ estilo de visualización K}$

Los AEC son objetos muy generales y, por lo general, se hacen algunas de las siguientes suposiciones al estudiarlos:

Tenga en cuenta que en las clases elementales, la incrustación conjunta se mantiene siempre que la teoría esté completa , mientras que la amalgama y la ausencia de modelos maximales son consecuencias bien conocidas del teorema de compacidad . Estos tres supuestos nos permiten construir un modelo universal-modelo monstruo homogéneo , exactamente como en el caso elemental.${\displaystyle {\mathfrak{C}}}$

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