Politopo abstracto

En matemáticas , un politopo abstracto es un conjunto o poset algebraico parcialmente ordenado que captura las propiedades combinatorias de un politopo tradicional sin especificar propiedades puramente geométricas como ángulos o longitudes de borde. Un politopo es una generalización de polígonos y poliedros en cualquier número de dimensiones.

Se dice que un politopo geométrico ordinario es una realización en algún espacio real de dimensión N , típicamente euclidiana , del politopo abstracto correspondiente. La definición abstracta permite algunas estructuras combinatorias más generales que las definiciones tradicionales de un politopo, lo que permite muchos objetos nuevos que no tienen contrapartida en la teoría tradicional.

En geometría euclidiana, los seis cuadriláteros ilustrados son todos diferentes. Sin embargo, tienen una estructura común en la cadena alterna de cuatro vértices y cuatro lados que les da su nombre. Se dice que son isomorfos o "preservan la estructura".

Esta estructura común puede representarse en un politopo abstracto subyacente, un conjunto parcialmente ordenado puramente algebraico que captura el patrón de conexiones o incidencias entre los diversos elementos estructurales. Las propiedades medibles de los politopos tradicionales, como los ángulos, la longitud de los bordes, la asimetría, la rectitud y la convexidad, no tienen ningún significado para un politopo abstracto.

Lo que es cierto para los politopos tradicionales (también llamados politopos clásicos o geométricos) puede no serlo para los abstractos y viceversa. Por ejemplo, un politopo tradicional es regular si todas sus facetas y figuras de vértice son regulares, pero esto no es necesariamente así para un politopo abstracto. ^[1]

Se dice que un politopo geométrico tradicional es una realización del politopo abstracto asociado. Una realización es un mapeo o inyección del objeto abstracto en un espacio real, típicamente euclidiano , para construir un politopo tradicional como una figura geométrica real.