Grupo algebraico adélico
En álgebra abstracta , un grupo algebraico adélico es un grupo semitopológico definido por un grupo algebraico G sobre un cuerpo numérico K , y el anillo adélico A = A ( K ) de K. Consiste en los puntos de G que tienen valores en A ; la definición de la topología apropiada es directa solo en el caso de que G sea un grupo algebraico lineal . En el caso de que G sea una variedad abeliana, presenta un obstáculo técnico, aunque se sabe que el concepto es potencialmente útil en relación con los números de Tamagawa. Los grupos algebraicos adélicos se utilizan ampliamente en teoría de números , particularmente para la teoría de representaciones automórficas y la aritmética de formas cuadráticas .
En caso de que G sea un grupo algebraico lineal, es una variedad algebraica afín en N -espacio afín . La topología del grupo algebraico adélico se toma como la topología del subespacio en A N , el producto cartesiano de N copias del anillo adélico. En este caso, es un grupo topológico.
Un ejemplo importante, el grupo idele I ( K ), es el caso de . Aquí el conjunto de ideles (también idèles / ɪ ˈ d ɛ l z / ) consiste en los adeles invertibles; pero la topología del grupo idele no es su topología como un subconjunto de los adeles. En cambio, considerando que se encuentra en un espacio afín bidimensional como la ' hipérbola ' definida paramétricamente por
la topología correctamente asignada al grupo idele es la inducida por inclusión en A 2 ; componiendo con una proyección, se sigue que los idelos llevan una topología más fina que la topología del subespacio de A .
Dentro de A N , el producto K N se encuentra como un subgrupo discreto . Esto significa que G ( K ) es un subgrupo discreto de G ( A ), también. En el caso del grupo idele, el grupo cociente
es el grupo de clase idele . Está estrechamente relacionado con (aunque más grande que) el grupo de clase ideal . El grupo de la clase idele no es en sí mismo compacto; los ideles primero deben ser reemplazados por los ideles de la norma 1, y luego la imagen de aquellos en el grupo de clase idele es un grupo compacto ; la prueba de esto es esencialmente equivalente a la finitud del número de clase.