Grupo semitopológico

En matemáticas , un grupo semitopológico es un espacio topológico con una acción grupal que es continua con respecto a cada variable considerada por separado. Es un debilitamiento del concepto de grupo topológico ; todos los grupos topológicos son grupos semitopológicos, pero no ocurre lo contrario .

Un grupo semitopológico es un espacio topológico que también es un grupo tal que ${\ Displaystyle G}$

es continuo con respecto a ambos y . (Tenga en cuenta que un grupo topológico es continuo con referencia a ambas variables simultáneamente, y también se requiere que sea continuo. Aquí se ve como un espacio topológico con la topología del producto ). ^[1] ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle g_ {2}: G \ a G: x \ mapsto x ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle G \ times G}$

Claramente, todo grupo topológico es un grupo semitopológico. Para ver que lo contrario no se cumple, considere la línea real con su estructura habitual como un grupo abeliano aditivo . Aplicar la topología de límite inferior de la base topológica la familia . Entonces es continuo, pero no es continuo en 0: es un vecindario abierto de 0 pero no hay un vecindario de 0 continuado en . ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, +)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ {[a, b): - \ infty <a <b <\ infty \}}$ ${\ Displaystyle g_ {1}}$ ${\ Displaystyle g_ {2}}$ ${\ Displaystyle [0, b)}$ ${\ displaystyle g_ {2} ^ {- 1} ([0, b))}$

Se sabe que cualquier grupo semitopológico de Hausdorff localmente compacto es un grupo topológico. ^[2] También se conocen otros resultados similares. ^[3]