Dejar ser un campo global (una extensión finita deo el campo de función de una curva X / F q sobre un campo finito). El anillo adele de es el subring
que consiste en las tuplas dónde yace en el subring para todos, excepto para un número finito de lugares. Aquí el índicerangos sobre todas las valoraciones del campo global, es la finalización en esa valoración yel anillo de valoración .
Motivación
El anillo de adeles resuelve el problema técnico de "hacer" análisis sobre los números racionales . La solución "clásica" utilizada por la gente antes era pasar a la finalización métrica estándary utilizar técnicas analíticas allí. Pero, como se aprendió más adelante, hay muchos más valores absolutos además de la distancia euclidiana , uno para cada número primo., como fue clasificado por Ostrowski . Dado que el valor absoluto euclidiano, denotado, es solo uno entre muchos otros, , el anillo de adeles permite llegar a un compromiso y utilizar todas las valoraciones a la vez . Esto tiene la ventaja de tener acceso a técnicas analíticas, al mismo tiempo que retiene información sobre los números primos, ya que su estructura está incrustada por el producto infinito restringido.
¿Por qué el producto restringido?
El producto infinito restringido es una condición técnica necesaria para proporcionar el campo numérico una estructura de celosía dentro de , lo que permite construir una teoría del análisis de Fourier en el contexto adelico. Esto es completamente análogo a la situación en la teoría de números algebraica donde el anillo de números enteros de un campo de números algebraicos incrusta
como una celosía. Con el poder de una nueva teoría del análisis de Fourier, Tate pudo probar una clase especial de funciones L y las funciones zeta de Dedekind eran meromórficas en el plano complejo. Otra razón natural por la que se cumple esta condición técnica se puede ver directamente al construir el anillo de adeles como un producto tensorial de anillos. Si definimos el anillo de adeles integrales como el anillo
entonces el anillo de adeles se puede definir de manera equivalente como
La estructura restringida del producto se vuelve transparente después de mirar los elementos explícitos en este anillo. Si tomamos un número racional encontramos . Para cualquier tupla tenemos la siguiente serie de igualdades
Entonces, para cualquier todavía tenemos por , pero para ya que hay un poder inverso de . Esto muestra que cualquier elemento en este nuevo anillo de adeles puede tener un elemento enen solo un número finito de lugares.
Origen del nombre
En la teoría del campo de clase local, el grupo de unidades del campo local juega un papel central. En la teoría del campo de clase global, el grupo de clase idele asume este papel. El término "idele" ( francés : idèle ) es una invención del matemático francés Claude Chevalley (1909-1984) y significa "elemento ideal" (abreviado: id.el.). El término "adele" ( adèle ) significa aditivo idele.
La idea del anillo de Adele es mirar todas las terminaciones de En seguida. A primera vista, el producto cartesiano podría ser un buen candidato. Sin embargo, el anillo de adele se define con el producto restringido. Hay dos razones para esto:
Para cada elemento de las valoraciones son cero para casi todos los lugares, es decir, para todos los lugares excepto un número finito. Por lo tanto, el campo global puede integrarse en el producto restringido.
El producto restringido es un espacio localmente compacto, mientras que el producto cartesiano no lo es. Por lo tanto, no podemos aplicar el análisis armónico al producto cartesiano.
Ejemplos de
Anillo de adeles para los números racionales
Los racionales K = Q tienen una valoración para cada número primo p , con (K ν , O ν ) = ( Q p , Z p ), y una valoración infinito ∞ con Q ∞ = R . Así, un elemento de
es un número real junto con un p -ádico racional para cada p de los cuales todos, excepto un número finito, son p -números enteros.
Anillo de adeles para el campo funcional de la línea proyectiva
En segundo lugar, tome el campo de función K = F q ( P 1 ) = F q (t) de la línea proyectiva sobre un campo finito. Sus valoraciones corresponden a puntos x de X = P 1 , es decir, mapas sobre Spec F q
Por ejemplo, hay q + 1 puntos de la forma Spec F q → P 1 . En este caso, O ν = Ô X, x es el tallo completo de la estructura en x (es decir, funciona en una vecindad formal de x ) y K ν = K X, x es su campo de fracción. Por lo tanto
Lo mismo es válido para cualquier curva X / F q uniforme y adecuada sobre un campo finito, siendo el producto restringido sobre todos los puntos de x∈X .
Nociones relacionadas
El grupo de unidades en el anillo adele se llama grupo idele
El cociente de los ideles por el subgrupo K × ⊆I K se denomina grupo de clases ideles
donde K ab es la extensión algebraica abeliana máxima de K y significa la finalización lucrativa del grupo.
Dando una formulación adelia del grupo picard de una curva
Si X / F q es una curva suave propia, entonces su grupo Picard es [2]
y su grupo divisor es Div (X) = A K × / O K × . De manera similar, si G es un grupo algebraico semisimple (por ejemplo, SL n , también es válido para GL n ), entonces la uniformación de Weil dice que [3]
Aplicando esto a G = G m da el resultado en el grupo Picard.
Tesis de Tate
Existe una topología en A K para la cual el cociente A K / K es compacto, lo que permite realizar un análisis armónico en ella. John Tate en su tesis "Análisis de Fourier en campos numéricos y funciones Zeta de Heckes" [4] demostró resultados sobre las funciones L de Dirichlet utilizando el análisis de Fourier en el anillo de Adele y el grupo idele. Por lo tanto, el anillo de adele y el grupo idele se han aplicado para estudiar la función zeta de Riemann y funciones zeta más generales y las funciones L.
Demostrando la dualidad de Serre en una curva suave
Si X es una curva propia suave sobre los números complejos , se pueden definir los adeles de su campo de función C ( X ) exactamente como en el caso de los campos finitos. John Tate demostró [5] que la dualidad de Serre en X
puede deducirse trabajando con este anillo adele A C ( X ) . Aquí L es un haz de línea en X .
Notación y definiciones básicas
Campos globales
A lo largo de este artículo, es un campo global , lo que significa que es un campo numérico (una extensión finita de) o un campo de función global (una extensión finita de por primo y ). Por definición, una extensión finita de un campo global es en sí misma un campo global.
Valoraciones
Para una valoración de nosotros escribimos para la finalización de con respecto a Si es discreto escribimos para el anillo de valoración de y para el ideal máximo de Si este es un ideal principal, denotamos el elemento uniformizador por Una valoración que no es de Arquímedes se escribe como o y una valoración de Arquímedes como Asumimos que todas las valoraciones no son triviales.
Existe una identificación uno a uno de valoraciones y valores absolutos. Fijar una constante la valoración se le asigna el valor absoluto definido como:
Por el contrario, el valor absoluto se le asigna la valoración definido como:
Un lugar dees un representante de una clase de equivalencia de valoraciones (o valores absolutos) deLos lugares correspondientes a valoraciones no arquimedianas se denominan finitos, mientras que los lugares correspondientes a valoraciones arquimedianas se denominan infinitos. El conjunto de lugares infinitos de un campo global es finito, lo denotamos por
Definir y deja ser su grupo de unidades. Luego
Extensiones finitas
Dejar ser una extensión finita del campo global Dejar ser un lugar de y un lugar de Decimos yace arriba denotado por si el valor absoluto prohibido para está en la clase de equivalencia de Definir
Tenga en cuenta que ambos productos son finitos.
Si podemos incrustar en Por lo tanto, podemos incrustar diagonalmente en Con esta incrustación es un álgebra conmutativa sobre con grado
El anillo de Adele
El conjunto de adeles finitos de un campo global denotado se define como el producto restringido de Con respeto a
Está equipado con la topología de producto restringida, la topología generada por rectángulos abiertos restringidos, que tienen la siguiente forma:
dónde es un conjunto finito de lugares (finitos) y estan abiertos. Con suma y multiplicación por componentes también es un anillo.
El anillo adele de un campo global se define como el producto de con el producto de las terminaciones de en sus infinitos lugares. El número de lugares infinitos es finito y las terminaciones son o En breve:
Con la suma y la multiplicación definidas como componentes, el anillo de Adele es un anillo. Los elementos del anillo de adele se llaman adeles de A continuación, escribimos
aunque generalmente no es un producto restringido.
Observación. Los campos de función global no tienen lugares infinitos y, por lo tanto, el anillo de adele finito es igual al anillo de adele.
Lema. Hay una incrustación natural de dentro dado por el mapa diagonal:
Prueba. Si luego para casi todos Esto muestra que el mapa está bien definido. También es inyectivo porque la incrustación de en es inyectable para todos
Observación. Identificando con su imagen bajo el mapa diagonal lo consideramos como un subanillo de Los elementos de se llaman los principales adeles de
Definición. Dejar ser un conjunto de lugares de Definir el conjunto de-adeles de como
Además si definimos
tenemos:
El anillo adele de los racionales
Según el teorema de Ostrowski, los lugares de están donde identificamos un primo con la clase de equivalencia del -valor absoluto ádico y con la clase de equivalencia del valor absoluto definido como:
La finalización de con respecto al lugar es con anillo de valoración Por el lugar la finalización es Por lo tanto:
O para abreviar
Ilustraremos la diferencia entre topología de producto restringida y no restringida usando una secuencia en :
Lema. Considere la siguiente secuencia en :
En la topología de productos, converge a No converge en una topología de producto restringida.
Prueba. En la topología de productos, la convergencia corresponde a la convergencia en cada coordenada, lo cual es trivial porque las secuencias se vuelven estacionarias. La secuencia no converge en la topología de producto restringida, para cada adele y para cada rectángulo abierto restringido tenemos: por y por lo tanto para todos Como resultado para casi todos En esta consideración, y son subconjuntos finitos del conjunto de todos los lugares.
Definición alternativa para campos numéricos
Definición ( enteros profinitos ). Definimos enteros profinitos como la terminación profinita de los anillos. con la orden parcial es decir,
Lema.
Prueba. Esto se sigue del teorema chino del resto.
Lema.
Prueba. Usaremos la propiedad universal del producto tensorial. Definir un-función bilineal
Esto está bien definido porque para un con coprimos sólo hay un número finito de números primos dividiendo Dejar ser otro -módulo con un -mapa bilineal Tenemos que mostrar factores a través de de forma única, es decir, existe un único -mapa lineal tal que Definimos de la siguiente manera: para un dado allí existe y tal que para todos Definir Uno puede mostrar está bien definido, -lineal, satisface y es único con estas propiedades.
Corolario. Definir Entonces tenemos un isomorfismo algebraico
Prueba.
Lema. Para un campo numérico
Observación. Utilizando dónde están sumandos, le damos al lado derecho la topología del producto y transportamos esta topología a través del isomorfismo a
El anillo de adele de una extensión finita
Si ser una extensión finita entonces es un campo global y por lo tanto está definido y Reclamamos puede identificarse con un subgrupo de Mapa a dónde por Luego está en el subgrupo Si por y para todos acostado sobre el mismo lugar de
Lema. Si es una extensión finita entonces tanto algebraica como topológicamente.
Con la ayuda de este isomorfismo, la inclusión es dado por
Además, los principales adeles en puede identificarse con un subgrupo de adeles principales en a través del mapa
Prueba. [6] Deja ser una base de encima Entonces para casi todos
Además, existen los siguientes isomorfismos:
Para el segundo usamos el mapa:
en el cual es la incrustación canónica y Asumimos por ambos lados el producto restringido con respecto a
Corolario. Como grupos aditivos donde el lado derecho tiene sumandos.
El conjunto de adeles principales en se identifica con el conjunto donde el lado izquierdo tiene sumandos y consideramos como un subconjunto de
El anillo de adele de espacios vectoriales y álgebras
Lema. Suponer es un conjunto finito de lugares de y definir
Equipar con la topología del producto y definir componentes de suma y multiplicación. Luego es un anillo topológico localmente compacto.
Observación. Si es otro conjunto finito de lugares de conteniendo luego es un subanillo abierto de
Ahora, podemos dar una caracterización alternativa del anillo de adele. El anillo de adele es la unión de todos los conjuntos:
Equivalentemente es el conjunto de todos así que eso para casi todos La topología de es inducida por el requisito de que todos ser subanillos abiertos de Por lo tanto, es un anillo topológico localmente compacto.
Arreglar un lugar de Dejar ser un conjunto finito de lugares de conteniendo y Definir
Luego:
Además, defina
dónde recorre todos los conjuntos finitos que contienen Luego:
a través del mapa Todo el procedimiento anterior se cumple con un subconjunto finito en vez de
Por construcción de hay una incrustación natural: Además, existe una proyección natural
El anillo de adele de un espacio vectorial
Dejar ser un espacio vectorial de dimensión finita sobre y una base para encima Para cada lugar de nosotros escribimos:
Definimos el anillo de adele de como
Esta definición se basa en la descripción alternativa del anillo de adele como un producto tensorial equipado con la misma topología que definimos al dar una definición alternativa de anillo de adele para campos numéricos. Equipamoscon la topología de producto restringida. Luego y podemos incrustar en naturalmente a través del mapa
Damos una definición alternativa de la topología en Considere todos los mapas lineales: Usando las incrustaciones naturales y extender estos mapas lineales a: La topología en es la topología más burda para la que todas estas extensiones son continuas.
Podemos definir la topología de otra forma. Fijando una base para encima da como resultado un isomorfismo Por lo tanto, fijar una base induce un isomorfismo. Suministramos el lado izquierdo con la topología del producto y transportamos esta topología con el isomorfismo al lado derecho. La topología no depende de la elección de la base, porque otra base define un segundo isomorfismo. Al componer ambos isomorfismos, obtenemos un homeomorfismo lineal que transfiere las dos topologías entre sí. Más formalmente
donde las sumas tienen sumandos. En caso de la definición anterior es consistente con los resultados sobre el anillo de adele de una extensión finita
[7]
El anillo de adele de un álgebra
Dejar ser un álgebra de dimensión finita sobre En particular, es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Como consecuencia, está definido y Dado que tenemos una multiplicación en y podemos definir una multiplicación en vía:
Como consecuencia, es un álgebra con una unidad sobre Dejar ser un subconjunto finito de que contiene una base para encima Para cualquier lugar finito definimos como el -módulo generado por en Para cada conjunto finito de lugares, definimos
Se puede mostrar que hay un conjunto finito así que eso es un subanillo abierto de Si además es la unión de todos estos subanillos y para la definición anterior es consistente con la definición del anillo de adele.
Rastreo y norma en el anillo de Adele.
Dejar ser una extensión finita. Desde y de Lema arriba podemos interpretar como un subanillo cerrado de Nosotros escribimos para esta incrustación. Explícitamente para todos los lugares de sobre y para cualquier
Dejar sea una torre de campos globales. Luego:
Además, restringido a los principales adeles es la inyección natural
Dejar ser una base de la extensión de campo Entonces cada Se puede escribir como dónde son únicos. El mapaes continuo. Definimos Dependiendo de a través de las ecuaciones:
Ahora, definimos el rastro y la norma de como:
Estos son el rastro y el determinante del mapa lineal.
Son mapas continuos sobre el anillo de adele y cumplen las ecuaciones habituales:
Además, para y son idénticos a la traza y la norma de la extensión de campo Por una torre de campos tenemos:
Además, se puede demostrar que: [8]
Propiedades del anillo de adele
Teorema. [9] Para cada conjunto de lugares es un anillo topológico localmente compacto.
Observación. El resultado anterior también es válido para el anillo de Adele de espacios vectoriales y álgebras sobre
Teorema. [10] es discreto y cocompacto en En particular, está cerrado en
Prueba. Probamos el caso Mostrar es discreto es suficiente para mostrar la existencia de una vecindad de que no contiene ningún otro número racional. El caso general sigue a través de la traducción. Definir
es un barrio abierto de Reclamamos Dejar luego y para todos y por lo tanto Además, tenemos y por lo tanto A continuación, mostramos compacidad, definimos:
Mostramos cada elemento en tiene un representante en eso es para cada uno existe tal que Dejar ser arbitrario y ser un primo para el cual Entonces existe con y Reemplazar con y deja ser otro primo. Luego:
A continuación reclamamos:
La implicación inversa es trivialmente cierta. La implicación es verdadera, porque los dos términos de la desigualdad del triángulo fuerte son iguales si los valores absolutos de ambos números enteros son diferentes. Como consecuencia, el conjunto (finito) de primos para los cuales los componentes de no estan en se reduce en 1. Con la iteración, deducimos que existe tal que Ahora seleccionamos tal que Luego La proyección continua es sobreyectiva, por lo tanto como la imagen continua de un conjunto compacto, es compacto.
Corolario. Dejar ser un espacio vectorial de dimensión finita sobre Luego es discreto y cocompacto en
Teorema. Tenemos lo siguiente:
es un grupo divisible . [11]
es denso.
Prueba. Las dos primeras ecuaciones se pueden demostrar de forma elemental.
Por definición es divisible si por alguna y la ecuacion tiene una solucion Es suficiente para mostrar es divisible pero esto es cierto ya que es un campo con característica positiva en cada coordenada.
Para la última declaración, tenga en cuenta que como podemos alcanzar el número finito de denominadores en las coordenadas de los elementos de a través de un elemento Como consecuencia, es suficiente mostrar es denso, es decir, cada subconjunto abierto contiene un elemento de Sin pérdida de generalidad, podemos asumir
porque es un sistema de vecindad de en Según el teorema chino del resto, existe tal que Dado que las potencias de primos distintos son coprimos, sigue.
Observación.no es unívocamente divisible. Dejar y ser dado. Luego
ambos satisfacen la ecuación y claramente ( está bien definido, porque sólo un número finito de primos dividen ). En este caso, ser divisible de forma única equivale a estar libre de torsión, lo que no es cierto para desde pero y
Observación. El cuarto enunciado es un caso especial del teorema de aproximación fuerte .
Haar medida en el anillo de Adele
Definición. Una función se llama simple si dónde son medibles y para casi todos
Teorema. [12] Desde es un grupo localmente compacto con adición, hay una medida de Haar aditiva en Esta medida se puede normalizar de modo que toda función simple integrable satisface:
donde para es la medida en tal que tiene unidad de medida y es la medida de Lebesgue. El producto es finito, es decir, casi todos los factores son iguales a uno.
El grupo idele
Definición. Definimos el grupo idele de como el grupo de unidades del anillo de adele de es decir Los elementos del grupo idele se denominan ideles de
Observación. Nos gustaría equiparcon una topología para que se convierta en un grupo topológico. La topología de subconjunto heredada deno es un candidato adecuado ya que el grupo de unidades de un anillo topológico equipado con topología de subconjunto puede no ser un grupo topológico. Por ejemplo, el mapa inverso enno es continuo. La secuencia
converge a Para ver esto deja ser vecindario de sin pérdida de generalidad podemos asumir:
Desde para todos por lo suficientemente grande. Sin embargo, como vimos anteriormente, la inversa de esta secuencia no converge en
Lema. Dejar ser un anillo topológico. Definir:
Equipado con la topología inducida por el producto sobre la topología en y es un grupo topológico y el mapa de inclusión es continuo. Es la topología más burda, que surge de la topología en lo que hace un grupo topológico.
Prueba. Desdees un anillo topológico, basta con mostrar que el mapa inverso es continuo. Dejar estar abierto, entonces Esta abierto. Tenemos que mostrar está abierto o de manera equivalente, que Esta abierto. Pero esta es la condición anterior.
Equipamos el grupo idele con la topología definida en el Lema convirtiéndolo en un grupo topológico.
Definición. Para un subconjunto de lugares de colocar:
Lema. Se mantienen las siguientes identidades de grupos topológicos:
where the restricted product has the restricted product topology, which is generated by restricted open rectangles of the form
where is a finite subset of the set of all places and are open sets.
Proof. We prove the identity for the other two follow similarly. First we show the two sets are equal:
In going from line 2 to 3, as well as have to be in meaning for almost all and for almost all Therefore, for almost all
Now, we can show the topology on the left hand side equals the topology on the right hand side. Obviously, every open restricted rectangle is open in the topology of the idele group. On the other hand, for a given which is open in the topology of the idele group, meaning is open, so for each there exists an open restricted rectangle, which is a subset of and contains Therefore, is the union of all these restricted open rectangles and therefore is open in the restricted product topology.
Lemma. For each set of places, is a locally compact topological group.
Proof. The local compactness follows from the description of as a restricted product. It being a topological group follows from the above discussion on the group of units of a topological ring.
A neighbourhood system of is a neighbourhood system of Alternatively, we can take all sets of the form:
where is a neighbourhood of and for almost all
Since the idele group is a locally compact, there exists a Haar measure on it. This can be normalised, so that
This is the normalisation used for the finite places. In this equations, is the finite idele group, meaning the group of units of the finite adele ring. For the infinite places, we use the multiplicative lebesgue measure
The idele group of a finite extension
Lemma. Let be a finite extension. Then:
where the restricted product is with respect to
Lemma. There is a canonical embedding of in
Proof. We map to with the property for Therefore, can be seen as a subgroup of An element is in this subgroup if and only if his components satisfy the following properties: for and for and for the same place of
The case of vector-spaces and algebras
[13]
The idele group of an algebra
Let be a finite-dimensional algebra over Since is not a topological group with the subset-topology in general, we equip with the topology similar to above and call the idele group. The elements of the idele group are called idele of
Proposition. Let be a finite subset of containing a basis of over For each finite place of let be the -module generated by in There exists a finite set of places containing such that for all is a compact subring of Furthermore, contains For each is an open subset of and the map is continuous on As a consequence maps homeomorphically on its image in For each the are the elements of mapping in with the function above. Therefore, is an open and compact subgroup of [14]
Alternative characterisation of the idele group
Proposition. Let be a finite set of places. Then
is an open subgroup of where is the union of all [15]
Corollary. In the special case of for each finite set of places
is an open subgroup of Furthermore, is the union of all
Norm on the idele group
We want to transfer the trace and the norm from the adele ring to the idele group. It turns out the trace can't be transferred so easily. However, it is possible to transfer the norm from the adele ring to the idele group. Let Then and therefore, we have in injective group homomorphism
Since it is invertible, is invertible too, because Therefore As a consequence, the restriction of the norm-function introduces a continuous function:
The Idele class group
Lemma. There is natural embedding of into given by the diagonal map:
Proof. Since is a subset of for all the embedding is well-defined and injective.
Corollary. is a discrete subgroup of
Defenition. In analogy to the ideal class group, the elements of in are called principal ideles of The quotient group is called idele class group of This group is related to the ideal class group and is a central object in class field theory.
Remark. is closed in therefore is a locally compact topological group and a Hausdorff space.
Lemma.[16] Let be a finite extension. The embedding induces an injective map:
Properties of the idele group
Absolute value on and -idele
Definition. For define: Since is an idele this product is finite and therefore well-defined.
Remark. The definition can be extended to by allowing infinite products. However these infinite products vanish and so vanishes on We will use to denote both the function on and
Theorem. is a continuous group homomorphism.
Proof. Let
where we use that all products are finite. The map is continuous which can be seen using an argument dealing with sequences. This reduces the problem to whether is continuous on However, this is clear, because of the reverse triangle inequality.
Definition. We define the set of -idele as:
is a subgroup of Since it is a closed subset of Finally the -topology on equals the subset-topology of on [17][18]
Artin's Product Formula. for all
Proof.[19] We prove the formula for number fields, the case of global function fields can be proved similarly. Let be a number field and We have to show:
For a finite place for which the corresponding prime ideal does not divide we have and therefore This is valid for almost all We have:
In going from line 1 to line 2, we used the identity where is a place of and is a place of lying above Going from line 2 to line 3, we use a property of the norm. We note the norm is in so without loss of generality we can assume Then possesses a unique integer factorisation:
where is for almost all By Ostrowski's theorem all absolute values on are equivalent to the real absolute value or a -adic absolute value. Therefore:
Lemma.[20] There exists a constant depending only on such that for every satisfying there exists such that for all
Corollary. Let be a place of and let be given for all with the property for almost all Then there exists so that for all
Proof. Let be the constant from the lemma. Let be a uniformizing element of Define the adele via with minimal, so that for all Then for almost all Define with so that This works, because for almost all By the Lemma there exists so that for all
Theorem. is discrete and cocompact in
Proof.[21] Since is discrete in it is also discrete in To prove the compactness of let is the constant of the Lemma and suppose satisfying is given. Define:
Clearly is compact. We claim the natural projection is surjective. Let be arbitrary, then:
and therefore
It follows that
By the Lemma there exists such that for all and therefore proving the surjectivity of the natural projection. Since it is also continuous the compactness follows.
Theorem.[22] There is a canonical isomorphism Furthermore, is a set of representatives for and is a set of representatives for
Proof. Consider the map
This map is well-defined, since for all and therefore Obviously is a continuous group homomorphism. Now suppose Then there exists such that By considering the infinite place we see proving injectivity. To show surjectivity let The absolute value of this element is and therefore
Hence and we have:
Since
we conclude is surjective.
Theorem.[23] The absolute value function induces the following isomorphisms of topological groups:
Proof. The isomorphisms are given by:
Relation between ideal class group and idele class group
Theorem. Let be a number field with ring of integers group of fractional ideals and ideal class group We have the following isomorphisms
where we have defined
Proof. Let be a finite place of and let be a representative of the equivalence class Define
Then is a prime ideal in The map is a bijection between finite places of and non-zero prime ideals of The inverse is given as follows: a prime ideal is mapped to the valuation given by
The following map is well-defined:
The map is obviously a surjective homomorphism and The first isomorphism follows from fundamental theorem on homomorphism. Now, we divide both sides by This is possible, because
Please, note the abuse of notation: On the left hand side in line 1 of this chain of equations, stands for the map defined above. Later, we use the embedding of into In line 2, we use the definition of the map. Finally, we use that is a Dedekind domain and therefore each ideal can be written as a product of prime ideals. In other words, the map is a -equivariant group homomorphism. As a consequence, the map above induces a surjective homomorphism
To prove the second isomorphism we have to show Consider Then because for all On the other hand, consider with which allows to write As a consequence, there exists a representative, such that: Consequently, and therefore We have proved the second isomorphism of the theorem.
For the last isomorphism note that induces a surjective group homomorphism with
Remark. Consider with the idele topology and equip with the discrete topology. Since is open for each is continuous. It stands, that is open, where so that
Decomposition of and
Theorem.
Proof. For each place of so that for all belongs to the subgroup of generated by Therefore for each is in the subgroup of generated by Therefore the image of the homomorphism is a discrete subgroup of generated by Since this group is non-trivial, it is generated by for some Choose so that then is the direct product of and the subgroup generated by This subgroup is discrete and isomorphic to
For define:
The map is an isomorphism of in a closed subgroup of and The isomorphism is given by multiplication:
Obviously, is a homomorphism. To show it is injective, let Since for it stands that for Moreover, it exists a so that for Therefore, for Moreover implies where is the number of infinite places of As a consequence and therefore is injective. To show surjectivity, let We define and furthermore, we define for and for Define It stands, that Therefore, is surjective.
The other equations follow similarly.
Characterisation of the idele group
Theorem.[24] Let be a number field. There exists a finite set of places such that:
Proof. The class number of a number field is finite so let be the ideals, representing the classes in These ideals are generated by a finite number of prime ideals Let be a finite set of places containing and the finite places corresponding to Consider the isomorphism:
induced by
At infinite places the statement is obvious so we prove the statement for finite places. The inclusion ″″ is obvious. Let The corresponding ideal belongs to a class meaning for a principal ideal The idele maps to the ideal under the map That means Since the prime ideals in are in it follows for all that means for all It follows, that therefore
Applications
Finiteness of the class number of a number field
In the previous section we used the fact that the class number of a number field is finite. Here we would like to prove this statement:
Theorem (finiteness of the class number of a number field). Let be a number field. Then
Proof. The map
is surjective and therefore is the continuous image of the compact set Thus, is compact. In addition it is discrete and so finite.
Remark. There is a similar result for the case of a global function field. In this case, the so-called divisor group is defined. It can be shown, that the quotient of the set of all divisors of degree by the set of the principal divisors is a finite group.[25]
Group of units and Dirichlet's unit theorem
Let be a finite set of places. Define
Then is a subgroup of containing all elements satisfying for all Since is discrete in is a discrete subgroup of and with the same argument, is discrete in
An alternative definition is: where is a subring of defined by
As a consequence, contains all elements which fulfil for all
Lemma 1. Let The following set is finite:
Proof. Define
is compact and the set described above is the intersection of with the discrete subgroup in and therefore finite.
Lemma 2. Let be set of all such that for all Then the group of all roots of unity of In particular it is finite and cyclic.
Proof. All roots of unity of have absolute value so For converse note that Lemma 1 with and any implies is finite. Moreover for each finite set of places Finally Suppose there exists which is not a root of unity of Then for all contradicting the finiteness of
Unit Theorem. is the direct product of and a group isomorphic to where if and if [26]
Dirichlet's Unit Theorem. Let be a number field. Then where is the finite cyclic group of all roots of unity of is the number of real embeddings of and is the number of conjugate pairs of complex embeddings of It stands, that
Remark. The Unit Theorem is a generalisation of Dirichlet's Unit Theorem. To see this let be a number field. We already know that set and note Then we have:
Approximation theorems
Weak Approximation Theorem.[27] Let be inequivalent valuations of Let be the completion of with respect to Embed diagonally in Then is everywhere dense in In other words, for each and for each there exists such that:
Strong Approximation Theorem.[28] Let be a place of Define
Then is dense in
Remark. The global field is discrete in its adele ring. The strong approximation theorem tells us that, if we omit one place (or more), the property of discreteness of is turned into a denseness of
Hasse principle
Hasse-Minkowski Theorem. A quadratic form on is zero, if and only if, the quadratic form is zero in each completion
Remark. This is the Hasse principle for quadratic forms. For polynomials of degree larger than 2 the Hasse principle isn't valid in general. The idea of the Hasse principle (also known as local–global principle) is to solve a given problem of a number field by doing so in its completions and then concluding on a solution in
Characters on the adele ring
Definition. Let be a locally compact abelian group. The character group of is the set of all characters of and is denoted by Equivalently is the set of all continuous group homomorphisms from to We equip with the topology of uniform convergence on compact subsets of One can show that is also a locally compact abelian group.
Theorem. The adele ring is self-dual:
Proof. By reduction to local coordinates it is sufficient to show each is self-dual. This can done by using a fixed character of We illustrate this idea by showing is self-dual. Define:
Then the following map is an isomorphism which respects topologies:
Theorem (algebraic and continuous duals of the adele ring).[29] Let be a non-trivial character of which is trivial on Let be a finite-dimensional vector-space over Let and be the algebraic duals of and Denote the topological dual of by and use and to indicate the natural bilinear pairings on and Then the formula for all determines an isomorphism of onto where and Moreover, if fulfils for all then
Tate's thesis
With the help of the characters of we can do Fourier analysis on the adele ring.[30] John Tate in his thesis "Fourier analysis in number fields and Heckes Zeta functions"[4] proved results about Dirichlet L-functions using Fourier analysis on the adele ring and the idele group. Therefore, the adele ring and the idele group have been applied to study the Riemann zeta function and more general zeta functions and the L-functions. We can define adelic forms of these functions and we can represent them as integrals over the adele ring or the idele group, with respect to corresponding Haar measures. We can show functional equations and meromorphic continuations of these functions. For example, for all with
where is the unique Haar measure on normalized such that has volume one and is extended by zero to the finite adele ring. As a result the Riemann zeta function can be written as an integral over (a subset of) the adele ring.[31]
Automorphic forms
The theory of automorphic forms is a generalization of Tate's thesis by replacing the idele group with analogous higher dimensional groups. To see this note:
Based on these identification a natural generalization would be to replace the idele group and the 1-idele with:
And finally
where is the centre of Then we define an automorphic form as an element of In other words an automorphic form is a functions on satisfying certain algebraic and analytic conditions. For studying automorphic forms, it is important to know the representations of the group It is also possible to study automorphic L-functions, which can be described as integrals over [32]
We could generalize even further by replacing with a number field and with an arbitrary reductive algebraic group.
Further applications
A generalisation of Artin reciprocity law leads to the connection of representations of and of Galois representations of (Langlands program).
The idele class group is a key object of class field theory, which describes abelian extensions of the field. The product of the local reciprocity maps in local class field theory gives a homomorphism of the idele group to the Galois group of the maximal abelian extension of the global field. The Artin reciprocity law, which is a high level generalisation of the Gauss quadratic reciprocity law, states that the product vanishes on the multiplicative group of the number field. Thus, we obtain the global reciprocity map of the idele class group to the abelian part of the absolute Galois group of the field.
The self-duality of the adele ring of the function field of a curve over a finite field easily implies the Riemann–Roch theorem and the duality theory for the curve.
^Geometric Class Field Theory, notes by Tony Feng of a lecture of Bhargav Bhatt (PDF).
^Weil uniformization theorem, nlab article.
^ a bCassels & Fröhlich 1967.
^Residues of differentials on curves (PDF).
^This proof can be found in Cassels & Fröhlich 1967, p. 64.
^The definitions are based on Weil 1967, p. 60.
^See Weil 1967, p. 64 or Cassels & Fröhlich 1967, p. 74.
^For proof see Deitmar 2010, p. 124, theorem 5.2.1.
^See Cassels & Fröhlich 1967, p. 64, Theorem, or Weil 1967, p. 64, Theorem 2.
^The next statement can be found in Neukirch 2007, p. 383.
^See Deitmar 2010, p. 126, Theorem 5.2.2 for the rational case.
^This section is based on Weil 1967, p. 71.
^A proof of this statement can be found in Weil 1967, p. 71.
^A proof of this statement can be found in Weil 1967, p. 72.
^For a proof see Neukirch 2007, p. 388.
^This statement can be found in Cassels & Fröhlich 1967, p. 69.
^ is also used for the set of the -idele but we will use .
^There are many proofs for this result. The one shown below is based on Neukirch 2007, p. 195.
^For a proof see Cassels & Fröhlich 1967, p. 66.
^This proof can be found in Weil 1967, p. 76 or in Cassels & Fröhlich 1967, p. 70.
^Part of Theorem 5.3.3 in Deitmar 2010.
^Part of Theorem 5.3.3 in Deitmar 2010.
^The general proof of this theorem for any global field is given in Weil 1967, p. 77.
^For more information, see Cassels & Fröhlich 1967, p. 71.
^A proof can be found in Weil 1967, p. 78 or in Cassels & Fröhlich 1967, p. 72.
^A proof can be found in Cassels & Fröhlich 1967, p. 48.
^A proof can be found in Cassels & Fröhlich 1967, p. 67
^A proof can be found in Weil 1967, p. 66.
^For more see Deitmar 2010, p. 129.
^A proof can be found Deitmar 2010, p. 128, Theorem 5.3.4. See also p. 139 for more information on Tate's thesis.
^For further information see Chapters 7 and 8 in Deitmar 2010.
Sources
Cassels, John; Fröhlich, Albrecht (1967). Algebraic number theory: proceedings of an instructional conference, organized by the London Mathematical Society, (a NATO Advanced Study Institute). XVIII. London: Academic Press. ISBN 978-0-12-163251-9. CS1 maint: discouraged parameter (link) 366 pages.
Neukirch, Jürgen (2007). Algebraische Zahlentheorie, unveränd. nachdruck der 1. aufl. edn (in German). XIII. Berlin: Springer. ISBN 9783540375470. 595 pages.
Weil, André (1967). Basic number theory. XVIII. Berlin; Heidelberg; New York: Springer. ISBN 978-3-662-00048-9. 294 pages.
Deitmar, Anton (2010). Automorphe Formen (in German). VIII. Berlin; Heidelberg (u.a.): Springer. ISBN 978-3-642-12389-4. 250 pages.
Lang, Serge (1994). Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.