Functores adjuntos

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , la adjunción es una relación que pueden tener dos functores . Dos functores que se encuentran en esta relación se conocen como functores adjuntos , uno es el adjunto izquierdo y el otro el adjunto derecho . Los pares de functores adjuntos son omnipresentes en matemáticas y a menudo surgen de construcciones de "soluciones óptimas" a ciertos problemas (es decir, construcciones de objetos que tienen una determinada propiedad universal ), como la construcción de un grupo libre en un conjunto en álgebra, o la construcción de la compactación Stone-Čech de unespacio topológico en topología.

Por definición, una adjunción entre categorías y es un par de functores (se supone que son covariantes ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

y, para todos los objetos en y en una biyección entre los respectivos conjuntos de morfismos ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

de tal manera que esta familia de biyecciones es natural en y . La naturalidad aquí significa que hay isomorfismos naturales entre el par de functores y para un in fijo , y también el par de functores y para un in fijo . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (F-, X): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (-, GX): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (FY, -): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (Y, G -): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

El functor se denomina functor adjunto izquierdo o adjunto izquierdo a , mientras que se denomina functor adjunto derecho o adjunto derecho a . ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle F}$