En matemáticas , una combinación afín de x 1 , ..., x n es una combinación lineal
tal que
Aquí, x 1 , ..., x n pueden ser elementos ( vectores ) de un espacio vectorial sobre un campo K , y los coeficientesson elementos de K .
Los elementos x 1 , ..., x n también pueden ser puntos de un espacio euclidiano , y, más generalmente, de un espacio afín sobre un campo K . En este caso elson elementos de K (opara un espacio euclidiano), y la combinación afín también es un punto. Consulte Espacio afín § Combinaciones afines y baricentro para la definición en este caso.
Este concepto es fundamental en la geometría euclidiana y la geometría afín , ya que el conjunto de todas las combinaciones afines de un conjunto de puntos forma el subespacio más pequeño que contiene los puntos, exactamente como las combinaciones lineales de un conjunto de vectores forman su espacio lineal .
Las combinaciones afines conmutan con cualquier transformación afín T en el sentido de que
En particular, cualquier combinación afín de los puntos fijos de una transformación afín dada es también un punto fijo de , por lo que el conjunto de puntos fijos de forma un subespacio afín (en 3D: una línea o un plano, y los casos triviales, un punto o todo el espacio).
Cuando una matriz estocástica , A , actúa sobre un vector columna, b → , el resultado es un vector columna cuyas entradas son combinaciones afines de b → con coeficientes de las filas de A .
Ver también
Combinaciones relacionadas
Geometría afín
Referencias
- Gallier, Jean (2001), Métodos geométricos y aplicaciones , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95044-0. Ver capítulo 2 .