En matemáticas , el casco afín o lapso afín de un conjunto S en espacio euclídeo R n es el más pequeño conjunto afín que contiene S , o equivalentemente, la intersección de todos los conjuntos afines que contienen S . Aquí, un conjunto afín puede definirse como la traducción de un subespacio vectorial .
El casco afín aff ( S ) de S es el conjunto de todas las combinaciones afines de elementos de S , es decir,
Ejemplos de
- El casco afín del conjunto vacío es el conjunto vacío.
- El casco afín de un singleton (un conjunto hecho de un solo elemento) es el singleton mismo.
- El casco afín de un conjunto de dos puntos diferentes es la línea que los atraviesa.
- El casco afín de un conjunto de tres puntos que no están en una línea es el avión que los atraviesa.
- El casco afín de un conjunto de cuatro puntos que no están en un plano en R 3 es el espacio completo R 3 .
Propiedades
Para cualquier subconjunto
- es un conjunto cerrado si es de dimensión finita.
- Si luego .
- Si luego es un subespacio lineal de .
- .
- Así que en particular es siempre un subespacio vectorial de .
- Si es convexo entonces
- Para cada , dónde es el cono más pequeño que contiene (aquí, un conjunto es un cono si para todos y todo no negativo ).
- Por eso es siempre un subespacio lineal de Paralelo a .
Conjuntos relacionados
- Si en lugar de una combinación afín se usa una combinación convexa , eso es lo que se requiere en la fórmula anterior que todosSi no es negativo, se obtiene el casco convexo de S , que no puede ser mayor que el casco afín de S ya que hay más restricciones involucradas.
- La noción de combinación cónica da lugar a la noción de casco cónico
- Sin embargo, si uno no pone ninguna restricción en los números , En lugar de una combinación de uno afín tiene una combinación lineal , y el conjunto resultante es la envolvente lineal de S , que contiene el casco afín de S .
Referencias
- RJ Webster, Convexity , Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8 .