En teoría de números, la conjetura de Agoh-Giuga sobre los números de Bernoulli B k postula que p es un número primo si y solo si
Lleva el nombre de Takashi Agoh y Giuseppe Giuga .
Formulación equivalente
La conjetura, como se dijo anteriormente, se debe a Takashi Agoh (1990); una formulación equivalente se debe a Giuseppe Giuga , de 1950, en el sentido de que p es primo si y sólo si
que también puede escribirse como
Es trivial demostrar que p siendo primo es suficiente para que se cumpla la segunda equivalencia, ya que si p es primo, el pequeño teorema de Fermat establece que
por , y la equivalencia sigue, ya que
Estado
El enunciado sigue siendo una conjetura, ya que aún no se ha demostrado que si un número n no es primo (es decir, n es compuesto ), entonces la fórmula no se cumple. Se ha demostrado que un número compuesto n satisface la fórmula si y solo si es tanto un número de Carmichael como un número de Giuga , y que si tal número existe, tiene al menos 13.800 dígitos (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996 ). Laerte Sorini, finalmente, en un trabajo de 2001 mostró que un posible contraejemplo debería ser un número n mayor que 10 36067 que representa el límite sugerido por Bedocchi para la técnica de demostración especificada por Giuga a su propia conjetura.
Relación con el teorema de Wilson
La conjetura de Agoh-Giuga tiene una similitud con el teorema de Wilson , que se ha demostrado que es cierto. El teorema de Wilson establece que un número p es primo si y solo si
que también puede escribirse como
Para un primo impar p tenemos
y para p = 2 tenemos
Entonces, la verdad de la conjetura de Agoh-Giuga combinada con el teorema de Wilson daría: un número p es primo si y solo si
y
Referencias
- Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Estera. Natur. (en italiano). 83 : 511–518. ISSN 0375-9164 . Zbl 0045.01801 .
- Agoh, Takashi (1995). "Sobre la conjetura de Giuga". Manuscripta Mathematica . 87 (4): 501–510. doi : 10.1007 / bf02570490 . Zbl 0845.11004 .
- Borwein, D .; Borwein, JM ; Borwein, PB ; Girgensohn, R. (1996). "Conjetura de Giuga sobre la primordialidad" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (1): 40–50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424 . doi : 10.2307 / 2975213 . JSTOR 2975213 . Zbl 0860.11003 . Archivado desde el original (PDF) el 31 de mayo de 2005 . Consultado el 29 de mayo de 2005 .
- Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (en italiano). 68 . ISSN 1720-9668 .