Triángulo de campana
En matemáticas, el triángulo de Bell es un triángulo de números análogo al triángulo de Pascal , cuyos valores cuentan particiones de un conjunto en el que un elemento dado es el singleton más grande . Recibe su nombre por su estrecha conexión con los números de Bell , [1] que se pueden encontrar en ambos lados del triángulo, y que a su vez llevan el nombre de Eric Temple Bell . El triángulo de Bell ha sido descubierto de forma independiente por múltiples autores, comenzando con Charles Sanders Peirce ( 1880 ) e incluyendo también a Alexander Aitken ( 1933 ) y Cohn et al. (1962), y por ello también se le ha llamado matriz de Aitken o triángulo de Peirce . [2]
Diferentes fuentes dan el mismo triángulo en diferentes orientaciones, algunas volteadas entre sí. [3] En un formato similar al del triángulo de Pascal, y en el orden indicado en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras , sus primeras filas son: [2]
El triángulo de Bell se puede construir colocando el número 1 en su primera posición. Después de esa ubicación, el valor más a la izquierda en cada fila del triángulo se rellena copiando el valor más a la derecha en la fila anterior. Las posiciones restantes en cada fila se llenan con una regla muy similar a la del triángulo de Pascal : son la suma de los dos valores a la izquierda y arriba a la izquierda de la posición.
Por lo tanto, después de la colocación inicial del número 1 en la fila superior, es la última posición en su fila y se copia en la posición más a la izquierda en la siguiente fila. El tercer valor del triángulo, 2, es la suma de los dos valores anteriores arriba a la izquierda ya la izquierda. Como último valor en su fila, el 2 se copia en la tercera fila y el proceso continúa de la misma manera.
Los propios números de Bell , en los lados izquierdo y derecho del triángulo, cuentan el número de formas de dividir un conjunto finito en subconjuntos o, de manera equivalente, el número de relaciones de equivalencia en el conjunto. Sun y Wu (2011) brindan la siguiente interpretación combinatoria de cada valor en el triángulo. Siguiendo a Sun y Wu, sea A n,k el valor que está en k posiciones desde la izquierda en la n -ésima fila del triángulo, con la parte superior del triángulo numerada como A 1,1 . Entonces A n,k cuenta el número de particiones del conjunto {1, 2, ..., n + 1} en el que el elemento k + 1 es el único elemento de su conjunto y cada elemento de mayor número está en un conjunto de más de un elemento. Es decir, k + 1 debe ser el singleton más grande de la partición.
Por ejemplo, el número 3 en el medio de la tercera fila del triángulo estaría etiquetado, en su notación, como A 3,2 y cuenta el número de particiones de {1, 2, 3, 4} en las que 3 es el elemento singleton más grande. Hay tres particiones de este tipo:
