Número de campana

Cuenta las posibles particiones de un conjunto

En matemática combinatoria , los números de Bell cuentan las posibles particiones de un conjunto . Estos números han sido estudiados por matemáticos desde el siglo XIX y sus raíces se remontan al Japón medieval. En un ejemplo de la ley de la eponimia de Stigler , llevan el nombre de Eric Temple Bell , quien escribió sobre ellos en la década de 1930.

Los números de Bell se denominan B _n , donde n es un número entero mayor o igual que cero . Comenzando con B ₀ = B ₁ = 1, los primeros números de Bell son

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, ... (secuencia A000110 en la OEIS ).

El número de Bell B _n cuenta el número de formas diferentes de dividir un conjunto que tiene exactamente n elementos, o de manera equivalente, el número de relaciones de equivalencia en él. B _n también cuenta el número de diferentes esquemas de rima para poemas de n líneas. ^[1]

Además de aparecer en los problemas de conteo, estos números tienen una interpretación diferente, como momentos de distribuciones de probabilidad . En particular, B _n es el n- ésimo momento de una distribución de Poisson con media 1.

Contando

Establecer particiones

Artículo principal: Partición de un conjunto

Las particiones de conjuntos se pueden organizar en un orden parcial, mostrando que cada partición de un conjunto de tamaño n "usa" una de las particiones de un conjunto de tamaño n-1.

Las 52 particiones de un conjunto con 5 elementos

En general, B _n es el número de particiones de un conjunto de tamaño n . Una partición de un conjunto S se define como un conjunto de no vacío, subconjuntos disjuntos por pares de S cuya unión es S . Por ejemplo, B ₃  = 5 porque el conjunto de 3 elementos { a ,  b ,  c } se puede dividir de 5 formas distintas:

{{ a }, { b }, { c }}

{{ a }, { b , c }}

{{ b }, { a , c }}

{{ c }, { a , b }}

{{ a , b , c }}.

B ₀ es 1 porque hay exactamente una partición del conjunto vacío . Cada miembro del conjunto vacío es un conjunto no vacío (que es vacuosamente cierto ), y su unión es el conjunto vacío. Por lo tanto, el conjunto vacío es la única partición de sí mismo. Como sugiere la notación de conjuntos anterior, no consideramos ni el orden de los bloques en una partición ni el orden de los elementos dentro de cada bloque. Esto significa que las siguientes particiones se consideran todas idénticas:

{{ b }, { a , c }}

{{ a , c }, { b }}

{{ b }, { c , a }}

{{ c , a }, { b }}.

Si, en cambio, los diferentes ordenamientos de los conjuntos se consideran particiones diferentes, entonces el número de estas particiones ordenadas viene dado por los números de Bell ordenados .

Factorizaciones

Si un número N es un squarefree positivo número entero (que significa que es el producto de un número n de distintos números primos ), entonces B _n indica el número de diferentes particiones multiplicativos de N . Estas son factorizaciones de N en números mayores que uno, tratando dos factorizaciones como iguales si tienen los mismos factores en un orden diferente. ^[2] Por ejemplo, 30 es el producto de los tres primos 2, 3 y 5, y tiene B ₃ = 5 factorizaciones:

${\displaystyle 30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5}$

Esquemas de rima

Los números de Bell también cuentan los esquemas de rima de un poema o estrofa de n líneas . Un esquema de rima describe qué líneas riman entre sí, por lo que puede interpretarse como una partición del conjunto de líneas en subconjuntos que riman. Los esquemas de rima generalmente se escriben como una secuencia de letras romanas, una por línea, con líneas que riman con la misma letra entre sí, y con las primeras líneas de cada conjunto de rimas etiquetadas en orden alfabético. Por tanto, los 15 posibles esquemas de rima de cuatro líneas son AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC y ABCD. ^[1]

Permutaciones

Los números de Bell surgen en un problema de barajado de cartas mencionado en el apéndice de Gardner (1978) . Si una baraja de n cartas se baraja retirando repetidamente la carta superior y reinsertándola en cualquier parte de la baraja (incluida su posición original en la parte superior de la baraja), con exactamente n repeticiones de esta operación, entonces hay n ⁿ diferentes barajadas que puede ser llevado a cabo. De estos, el número que devuelve el mazo a su orden original es exactamente B _n . Por lo tanto, la probabilidad de que el mazo esté en su orden original después de barajarlo de esta manera es B _n / n ⁿ, que es significativamente más grande que el 1 / n ! probabilidad que describiría una permutación uniformemente aleatoria del mazo.

En relación con el barajado de cartas, hay varios otros problemas de contar tipos especiales de permutaciones que también se responden con los números de Bell. Por ejemplo, el n- ésimo número de Bell es igual al número de permutaciones en n elementos en los que no hay tres valores ordenados que tengan los dos últimos de estos tres consecutivos. En una notación para patrones de permutación generalizados donde los valores que deben ser consecutivos se escriben adyacentes entre sí, y los valores que pueden aparecer de forma no consecutiva están separados por un guión, estas permutaciones pueden describirse como las permutaciones que evitan el patrón 1-23. Las permutaciones que evitan los patrones generalizados 12-3, 32-1, 3-21, 1-32, 3-12, 21-3 y 23-1 también se cuentan por los números de Bell.^[3] Las permutaciones en las que cada patrón 321 (sin restricción de valores consecutivos) se puede extender a un patrón 3241 también se cuentan por los números de Bell. ^[4] Sin embargo, los números de Bell crecen demasiado rápido para contar las permutaciones que evitan un patrón que no se ha generalizado de esta manera: según la (ahora probada) conjetura de Stanley-Wilf , el número de tales permutaciones es exponencial individualmente, y el Los números de campana tienen una tasa de crecimiento asintótica más alta que esa.

Esquema de triángulo para cálculos

Artículo principal: Triángulo de campana

La matriz triangular cuya secuencia diagonal a la derecha consta de números de campana

Los números de Bell se pueden calcular fácilmente creando el llamado triángulo de Bell , también llamado matriz de Aitken o el triángulo de Peirce en honor a Alexander Aitken y Charles Sanders Peirce . ^[5]

1. Empiece por el número uno. Pon esto solo en una fila. ( )${\displaystyle x_{0,1}=1}$
2. Inicie una nueva fila con el elemento más a la derecha de la fila anterior como el número más a la izquierda ( donde r es el último elemento de ( i -1) -th fila)${\displaystyle x_{i,1}\leftarrow x_{i-1,r}}$
3. Determine los números que no están en la columna de la izquierda tomando la suma del número de la izquierda y el número de arriba del número de la izquierda, es decir, el número diagonalmente hacia arriba y hacia la izquierda del número que estamos calculando. ${\displaystyle (x_{i,j}\leftarrow x_{i,j-1}+x_{i-1,j-1})}$
4. Repita el paso tres hasta que haya una nueva fila con un número más que la fila anterior (siga el paso 3 hasta )${\displaystyle j=r+1}$
5. El número en el lado izquierdo de una fila determinada es el número de campana para esa fila. ( )${\displaystyle B_{i}\leftarrow x_{i,1}}$

Aquí están las primeras cinco filas del triángulo construido por estas reglas:

 1 1 2 2 3 5 5 7 10 1515 20 27 37 52

Los números de Bell aparecen en los lados izquierdo y derecho del triángulo.

Propiedades

Fórmulas de suma

Los números de Bell satisfacen una relación de recurrencia que involucra coeficientes binomiales : ^[6]

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.}$

Puede explicarse observando que, de una partición arbitraria de n  + 1 elementos, eliminar el conjunto que contiene el primer elemento deja una partición de un conjunto más pequeño de k elementos para algún número k que puede variar de 0 a n . Hay opciones para los k elementos que quedan después de que se elimina un conjunto y B _k opciones sobre cómo dividirlos.${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Una fórmula de suma diferente representa cada número de Bell como una suma de números de Stirling del segundo tipo

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}.}$

El número de Stirling es el número de formas de dividir un conjunto de cardinalidad n en exactamente k subconjuntos no vacíos. Por lo tanto, en la ecuación que relaciona los números de Bell con los números de Stirling, cada partición contada en el lado izquierdo de la ecuación se cuenta exactamente en uno de los términos de la suma del lado derecho, aquel para el cual k es el número de conjuntos en la partición. ^[7]${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

Spivey (2008) ha dado una fórmula que combina estas dos sumas:

${\displaystyle B_{n+m}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\left\{{m \atop j}\right\}{n \choose k}j^{n-k}B_{k}.}$

Función generadora

La función de generación exponencial de los números de Bell es

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$

En esta fórmula, la suma en el medio es la forma general utilizada para definir la función generadora exponencial para cualquier secuencia de números, y la fórmula de la derecha es el resultado de realizar la suma en el caso específico de los números de Bell.

Una forma de derivar este resultado utiliza la combinatoria analítica , un estilo de razonamiento matemático en el que conjuntos de objetos matemáticos se describen mediante fórmulas que explican su construcción a partir de objetos más simples, y luego esas fórmulas se manipulan para derivar las propiedades combinatorias de los objetos. En el lenguaje de la combinatoria analíticas, una partición conjunto puede ser descrito como un conjunto de no vacíos urnas en la que los elementos etiquetados de 1 a n se han distribuido, y la clase combinatoria de todas las particiones (para todos los n ) puede ser expresado por la notación

${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} (\mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}({\mathcal {Z}})).}$

Aquí, hay una clase combinatoria con un solo miembro de tamaño uno, un elemento que se puede colocar en una urna. El operador interno describe un conjunto o urna que contiene uno o más elementos etiquetados, y el exterior describe la partición general como un conjunto de estas urnas. La función de generación exponencial puede leerse a partir de esta notación traduciendo el operador a la función exponencial y la restricción de no vacío ≥1 a la resta de uno. ^[8]${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}}$${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$

Un método alternativo para derivar la misma función generadora usa la relación de recurrencia para los números de Bell en términos de coeficientes binomiales para mostrar que la función generadora exponencial satisface la ecuación diferencial . La función en sí se puede encontrar resolviendo esta ecuación. ^{[9] [10] [11]}${\displaystyle B'(x)=e^{x}B(x)}$

Momentos de distribuciones de probabilidad

Los números de Bell satisfacen la fórmula de Dobinski ^{[12] [9] [11]}

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

Esta fórmula se puede derivar expandiendo la función de generación exponencial usando la serie de Taylor para la función exponencial y luego recolectando términos con el mismo exponente. ^[8] Permite interpretar B _n como el n- ésimo momento de una distribución de Poisson con valor esperado 1.

El n- ésimo número de Bell es también la suma de los coeficientes en el n- ésimo polinomio completo de Bell , que expresa el n- ésimo momento de cualquier distribución de probabilidad en función de los primeros n acumulados .

Aritmética modular

Los números de Bell obedecen a la congruencia de Touchard : si p es cualquier número primo, entonces ^[13]

${\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}}$

o generalizando ^[14]

${\displaystyle B_{p^{m}+n}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.}$

Debido a la congruencia de Touchard, los números de Bell son módulo periódico p , para cada número primo p ; por ejemplo, para p  = 2, los números de Bell repiten el patrón impar-impar-par con el período tres. El período de esta repetición, para un número primo arbitrario p , debe ser un divisor de

${\displaystyle {\frac {p^{p}-1}{p-1}}}$

y para todo primo p ≤ 101 yp = 113, 163, 167 o 173 es exactamente este número (secuencia A001039 en la OEIS ). ^{[15] [16]}

El período de los números de Bell al módulo n son

1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, 25239592216021, 411771, 10153, 48, 51702516367896047761, 39, 109912203092239643840221, 9372, 1784341, 3591275011834 75718776648063, 117, 1647084, 91703076898614683377208150526107718802981, 30459, 568972471024107865287021434301977158534824481, 96, 370,905,171,793, 155107549103688143283, 107 197 717, 156, ... (secuencia A054767 en la OEIS )

Representación integral

Una aplicación de la fórmula integral de Cauchy a la función generadora exponencial produce la representación integral compleja

${\displaystyle B_{n}={\frac {n!}{2\pi ie}}\int _{\gamma }{\frac {e^{e^{z}}}{z^{n+1}}}\,dz.}$

Algunas representaciones asintóticas se pueden derivar mediante una aplicación estándar del método de descenso más pronunciado . ^[17]

Log-concavity

Los números de Bell forman una secuencia logarítmicamente convexa . Al dividirlos por los factoriales, B _n / n !, Se obtiene una secuencia logarítmicamente cóncava. ^{[18] [19] [20]}

Tasa de crecimiento

Se conocen varias fórmulas asintóticas para los números de Bell. En Berend & Tassa (2010) se establecieron los siguientes límites:

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {0.792n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$para todos los enteros positivos ;${\displaystyle n}$

además, si entonces para todos ,${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle n>n_{0}(\varepsilon )}$

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {e^{-0.6+\varepsilon }n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$

donde y los números de Bell también se pueden aproximar usando la función W de Lambert , una función con la misma tasa de crecimiento que el logaritmo, como ^[21]${\displaystyle ~n_{0}(\varepsilon )=\max \left\{e^{4},d^{-1}(\varepsilon )\right\}~}$${\displaystyle ~d(x):=\ln \ln(x+1)-\ln \ln x+{\frac {1+e^{-1}}{\ln x}}\,.}$

${\displaystyle B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left({\frac {n}{W(n)}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\exp \left({\frac {n}{W(n)}}-n-1\right).}$

Moser y Wyman (1955) establecieron la expansión

${\displaystyle B_{n+h}={\frac {(n+h)!}{W(n)^{n+h}}}\times {\frac {\exp(e^{W(n)}-1)}{(2\pi B)^{1/2}}}\times \left(1+{\frac {P_{0}+hP_{1}+h^{2}P_{2}}{e^{W(n)}}}+{\frac {Q_{0}+hQ_{1}+h^{2}Q_{2}+h^{3}Q_{3}+h^{4}Q_{4}}{e^{2W(n)}}}+O(e^{-3W(n)})\right)}$

uniformemente para como , dónde y cada y son expresiones conocidas en . ^[22]${\displaystyle h=O(\ln(n))}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle B}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle W(n)}$

La expresión asintótica

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ln B_{n}}{n}}&=\ln n-\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n}{\ln n}}+{\frac {1}{\ln n}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{2}+O\left({\frac {\ln \ln n}{(\ln n)^{2}}}\right)\\&{}\qquad {\text{as }}n\to \infty \end{aligned}}}$

fue establecido por de Bruijn (1981) .

Bell primos

Gardner (1978) planteó la cuestión de si un número infinito de números de Bell también son números primos . Los primeros números de Bell que son primos son:

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837 (secuencia A051131 en la OEIS )

correspondiente a los índices 2, 3, 7, 13, 42 y 55 (secuencia A051130 en la OEIS ).

El próximo Bell prime es B ₂₈₄₁ , que es aproximadamente 9.30740105 × 10 ⁶⁵³⁸ . ^[23] A partir de 2018 ^[update], es el número de Bell primo más grande conocido. Phil Carmody demostró que era un primo probable en 2002. Después de 17 meses de cómputo con el programa ECPP de Marcel Martin, Primo, Ignacio Larrosa Cañestro demostró que era primo en 2004. _Descartó otros posibles primos por debajo de B ₆₀₀₀ , luego ampliado a B ₃₀₄₄₇ por Eric Weisstein . ^[24]

Historia

Los números de Bell llevan el nombre de Eric Temple Bell , quien escribió sobre ellos en 1938, siguiendo un artículo de 1934 en el que estudiaba los polinomios de Bell . ^{[25] [26]} Bell no afirmó haber descubierto estos números; en su artículo de 1938, escribió que los números de Bell "se han investigado con frecuencia" y "se han redescubierto muchas veces". Bell cita varias publicaciones anteriores sobre estos números, comenzando con Dobiński (1877) que da la fórmula de Dobiński para los números de Bell. Bell llamó a estos números "números exponenciales"; el nombre "números de campana" y la notación B _n para estos números les fue dado por Becker &Riordan (1948) .^[27]

La primera enumeración exhaustiva de conjuntos de particiones parece haber ocurrido en el Japón medieval, donde (inspirado por la popularidad del libro The Tale of Genji ) surgió un juego de salón llamado genji-ko , en el que los invitados recibían cinco paquetes de incienso para oler. y se les pidió que adivinaran cuáles eran iguales entre sí y cuáles eran diferentes. Las 52 posibles soluciones, contadas por el número de campana B ₅ , se registraron mediante 52 diagramas diferentes, que se imprimieron sobre los títulos de los capítulos en algunas ediciones de The Tale of Genji. ^{[28] [29]}

En el segundo cuaderno de Srinivasa Ramanujan , investigó tanto los polinomios de Bell como los números de Bell. ^[30] Las primeras referencias para el triángulo de Bell , que tiene los números de Bell en ambos lados, incluyen a Peirce (1880) y Aitken (1933) .

Ver también

• Polinomios de Touchard
• Número catalán

Notas

1. Gardner, 1978 .
2. Williams 1945 atribuye esta observación a los Principii di Analisi Combinatoria de Silvio Minetola(1909).
3. Claesson (2001) .
4. Callan (2006) .
5. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A011971 (matriz de Aitken)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
6. Wilf 1994 , p. 23.
7. Conway y Guy (1996) .
8. Flajolet y Sedgewick, 2009 .
9. Rota, 1964 .
10. Wilf 1994 , págs. 20-23.
11. Bender y Williamson, 2006 .
12. Dobiński 1877 .
13. Becker y Riordan (1948) .
14. Hurst y Schultz (2009) .
15. Williams, 1945 .
16. Wagstaff 1996 .
17. Simon, Barry (2010). "Ejemplo 15.4.6 (asintóticas de números de campana)". Análisis complejo (PDF) . págs. 772–774. Archivado desde el original (PDF) el 24 de enero de 2014 . Consultado el 2 de septiembre de 2012 .
18. Engel 1994 .
19. Canfield 1995 .
20. Asai, Kubo y Kuo 2000 .
21. Lovász (1993) .
22. Canfield, Rod (julio de 1994). "La expansión Moser-Wyman de los números de Bell" (PDF) . Consultado el 24 de octubre de 2013 .
23. "93074010508593618333 ... 83885253703080601131" . 5000 Primes más grandes conocidos, la base de datos principal . Consultado el 24 de octubre de 2013 .
24. Weisstein, Eric W. "Primas de secuencia entera" . MathWorld .
25. Campana 1934 .
26. Campana, 1938 .
27. Rota 1964 . Sin embargo, Rota da una fecha incorrecta, 1934, para Becker & Riordan 1948 .
28. Knuth, 2013 .
29. Gardner 1978 y Berndt 2011 también mencionan la conexión entre los números de Bell y The Tale of Genji, con menos detalle.
30. Berndt, 2011 .

Referencias

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Enlaces externos

• Robert Dickau. "Diagramas de números de campana" .
• Weisstein, Eric W. "Número de campana" . MathWorld .
• Gottfried Helms. "Otras propiedades y generalización de Bell-Numbers" (PDF) .