Todos los caballos son del mismo color es una paradoja falsa que surge de un uso defectuoso de la inducción matemática para probar la afirmación Todos los caballos son del mismo color . [1] No existe una contradicción real, ya que estos argumentos tienen un defecto crucial que los hace incorrectos. Este ejemplo fue planteado originalmente por George Pólya en un libro de 1954 en diferentes términos: "¿Hay n números iguales?" o "Cualquier n niñas tienen ojos del mismo color", como ejercicio de inducción matemática. [2] También se ha reformulado como "Todas las vacas tienen el mismo color". [3]
La versión de "caballos" de la paradoja fue presentada en 1961 en un artículo satírico de Joel E. Cohen . Se estableció un lema , que en particular permitió al autor "probar" que Alejandro el Grande no existía y tenía un número infinito de miembros. [4]
El argumento
El argumento es prueba por inducción . Primero establecemos un caso base para un caballo (). Entonces probamos que si los caballos tienen el mismo color, entonces los caballos también deben tener el mismo color.
Caso base: un caballo
El caso de un solo caballo es trivial. Si sólo hay un caballo en el "grupo", es evidente que todos los caballos de ese grupo tienen el mismo color.
Paso inductivo
Asumir que los caballos siempre son del mismo color. Considere un grupo que consta de caballos.
Primero, excluya un caballo y mire solo al otro caballos; todos estos son del mismo color ya quelos caballos siempre son del mismo color. Del mismo modo, excluya algún otro caballo (que no sea idéntico al primero que se quitó) y mire solo al otrocaballos. Por el mismo razonamiento, estos también deben ser del mismo color. Por lo tanto, el primer caballo que fue excluido es del mismo color que los caballos no excluidos, quienes a su vez son del mismo color que el otro caballo excluido. Por lo tanto, el primer caballo excluido, los caballos no excluidos y el último caballo excluido son todos del mismo color, y hemos demostrado que:
- Si los caballos tienen el mismo color, entonces los caballos también tendrán el mismo color.
Ya vimos en el caso base que la regla ("todos los caballos tienen el mismo color") era válida para . El paso inductivo demostrado aquí implica que dado que la regla es válida para, también debe ser válido para , lo que a su vez implica que la regla es válida para y así.
Por lo tanto, en cualquier grupo de caballos, todos los caballos deben ser del mismo color. [2] [5]
Explicación
El argumento anterior supone implícitamente que el conjunto de caballos tiene el tamaño de al menos 3, [3] de modo que los dos subconjuntos adecuados de caballos a los que se aplica el supuesto de inducción necesariamente compartirían un elemento común. Esto no es cierto en el primer paso de la inducción, es decir, cuando.
Dejemos que los dos caballos sean el caballo A y el caballo B. Cuando se retira el caballo A, es cierto que los caballos restantes del conjunto son del mismo color (solo queda el caballo B). Lo mismo ocurre cuando se retira el caballo B. Sin embargo, la afirmación "el primer caballo del grupo es del mismo color que los caballos del medio" no tiene sentido, porque no hay "caballos en el medio" (elementos comunes (caballos) en los dos conjuntos). Por lo tanto, la prueba anterior tiene un vínculo lógico roto. La prueba forma una paradoja falsa ; parece mostrar mediante un razonamiento válido algo que es manifiestamente falso, pero de hecho el razonamiento es defectuoso.
Ver también
Referencias
- ^ Łukowski, Piotr (2011). Paradojas . Saltador. pp. 15 .
- ^ a b Pólya, George (1954). Inducción y analogía en matemáticas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 120.
- ^ a b Thomas VanDrunen, Matemáticas discretas y programación funcional , Franklin, Beedle and Associates, 2012, Sección "La inducción salió mal"
- ^ Cohen, Joel E. (1961), "Sobre la naturaleza de las pruebas matemáticas", Worm Runner's Digest , III (3). Reimpreso en A Random Walk in Science (RL Weber, ed.), Crane, Russak & Co., 1973, págs. 34-36
- ^ "Todos los caballos son del mismo color" . Departamento de Matemáticas de Harvey Mudd College . Consultado el 6 de enero de 2013 .